APPLICATIONS DE L.V THÉORIE DES FONCTIONS SYMÉTRIQUES

du second terme est égal à la somme des racines prises en signes contraires, il a pour valeur

— [a -^ b) ~{a -i- c] — {a -h ft) — . . .,

expression dans laquelle a, b, c. . . entrent toutes de la même manière; ainsi cette fonction symétrique rationnelle et entière peut s'exprimer au moyen des coefficients P, Q, R,. . . de la proposée.

On a de même, pour le coefficient du troisième terme, la somme des produits, deux à deux, des mêmes quantités, ou bien

expression qui estr encore symétrique en n, b, r,. . ., et peut, par conséquent, s'évaluer au moyen des coefficients P, Q, R, Même conclusion

par rapport aux coefficients du quatrième, cinquième,. . . terme, et, en général, par rapport au coefficient de rang {« -t- i), puisqu'il n'e^t autre chose, au signe près, que la somme des produits n a n des quantités n -h b, c/ H- c, . . . , somme qui est nécessairement une fonction sym^é-

trique de n, b, c, Toute la difficulté consiste à mettre en évidence

ces diverses fonctions symétriques, et à les évaluer d'après les formules établies précédemment.

Au reste, nous verrons bientôt un moyen plus simple d'évaluer les coefficients de l'équation cherchée.

On peut également former une équation dont les racines soient des combinaisons de la forme

a -^ b -r- /> c/b, a -^ c -i- />■ ac, a -i- d -h /; ad, . . . ,

k étant un nombre connu et déterminé.

Le degré de cette nouvelle équation, que l'on peut encore désigner

par Z = o, est toujours marqué par m — ■ — : et ces coefficients étant,

au signe près, les sommes des produits, une à une, deux à deux, trois à trois,... des quantités a-\-b-^kab, a -^ c -i- /,■ ac,. . . , sont nécessairement des fonctions symétriques rationnelles et entières de la proposée.

297. Proposons-nous, pour seconde application, de for uer l'équation aux différences des racines d'une équation donnée, question qui a déjà été traitée par l'élimination.

Nous avons fait connaître (275) la forme et le degré dé cette équation. Soit m le degré de la proposée; celui de l'équation aux différences est exprimé par m[in — i). De plus elle est de degré pair et ne renferme que des puissances de degré pair; de sorte que, si l'on pose, dans celte

4 10 CnAPITRE vir.

équation,

, /// 1 m — 0 ir = z et == n,

l'éciuation prend la forme

et les racines de cette nouvelle équation sont les carrés des diffcrcnces des racines de la proposée.

Les coefficients P', Q',. • ■ , T', U' sont les mêmes que ceux de l'équation aux différences; mais elle est de degré sous-double, et, par cela même, plus simple à considérer.

Cela posé, si <■/, Z», c, d,. . . sont les racines de la proposée, on a, pour celles de l'équation (i),

donc, d'après la composition connue des équations, les coefficients P', Q', R', . • • sont, au signe près pour quelques-uns, les sommes des produits I à I, 2 à 2, 3 à 3,. . . des quantités

{a^b)\ [a-cf, [b-ey-,...,

c'est-::-dire que l'on a

~V'={a-by^{a-cy^-...,

Q'-= [a — by{a - c)'-4-(« - by[b — c)'-:- . . ., ~R'={a-by{a-cy{b-cy^.,..

Or toutes ces expressions sont des fonctions symétriques que l'on peut évaluer au moyen des coefficients P, Q, R,. . . de la proposée.

Toutefois, si l'on effectuait ces développements, les diverses fonctions que l'on obtiendrait seraient des fonctions à une, deux , trois, . . . , et, en général, à p lettres (si l'on considère le coefficient de rang p -i-i); et ces coefficients s'évalueraient avec beaucoup de peine dans la pratique.

Mais // existe un moyen plus simple de calculer P', Q', R', . . . .

Les formules S, -f- P = o, Sj -î- PS, -i- 2 Q = o, . . . , obtenues au n° 292, font connaître S,, S^, S^, . . . , en fonction de P, Q, R,

Réciproquement, connaissant à priori les sommes S,, Sj, S , . . . des racines d'une équation, on pourrait calculer les coefficients P, Q, R, ... d'après les mêmes formules, car elles donnent

P.S„ Q=-^'-''g', R -S.-PS.-OS