APPLICATIONS DE LA THÉORIE DES FONCTIONS SYMÉTRIQUES

Donc, si nous pouvions évaluer les sommes des puissances semblables des carrés des différences [a — Z»)', [a — c)% . . . , nous obtiendrions facilement les valeurs de P', Q', R', . . . .

Or, en appelant S',, S'j, S3.. . . les sommes des puissances semblables des racines de l'équation (3), on a

S', = (a — b)--^ (^ — cY-^.. .= [m — 1)1(1^ — ■j.Tab,

5;= (« — by-^.- {a — cY-r-...=^ 'm - i) T(â—QTn'b ~ \5TaUr~ ioTa^h\

Explication de ce tableau. — Il est évident d'abord que les développements de S', , S'2 , S'3 ; . . . ne peuvent se composer que de fonctions symétriques à une ou à deux lettres au plus. Quant à la manière de les obtenir, on observera que, dans chacun d'eux, «', ou a\ ou a^.... doit être répété autant de fois que l'on peut former de différences entre la racine a et toutes les autres dont le nombre est /« — i ; donc les fonctions T«', Ta* , Trt", . . . ont toutes [m — 1) pour coefficient.

Les coefficients des autres fonctions sont d'ailleurs ceux des développements des puissances [a — by, {a — by, {a — bf,. . ., depuis le coefficient du second terme inclusivement j'us(ju'à celui du terme qui tient le milieu, aussi inclusivement. Enfin, les diverses parties sont alternativement positives et négatives, comme dans les développements de {a — by, [a-by,....

Le nombre des sommes S',, S'2, S3,... qu'il est nécessaire d'évaluer est égal au nombre des coefficients P', Q', E.', . . . de l'équation (3); par conséquent la dernière somme est S„.

Cela posé, voici la marche qu'il faut suivre dans la pratique pour évaluer ces sommes :

On commence par calculer les sommes S^, S^, S^,. . . Jusqu'à S^,, ou Smfm-O' ''^^■^ racines de la proposée (i); puis, à Vaide des jormules

du n" 291, on évalue toutes les fonctions Tab, Ta^b, Td'b^, d'où l'on

conclut les valeurs de S', , S'j, S3, S'„, et, par suile, celles de P', Q',

298. Soit proposé de former l'équation aux carrés des différences des racines de l'équation x^ — yx -i- y — o. Cette équation étant du troisième degré, on a

im-i) „

4l2 CHAPITRE VII.

Ainsi l'équation cherchée est de la forme

c'est-à-dire qu'il y a trois coefficients à déterminer, et, par conséquent, trois sommes, S',, S,, S',, à calculer. Cela posé, on a

d'où l'on déduit, tout calcul fait,

S, = G, S, = i4, 83 = — 21, S^ = 98, S5 = — 245, Sg --- 833,

Trt« -^S, = 833, Ta'b =S,S, -S, --- 833, Ta'b'= S, S, -S, =r 539, Ta* = S^ =98, I (S )2 S

T 3A c o Ta^b^—- — ^ = — 106;

Trro = — S4 = — 98. I 2 "^ '

T«» := S, =14, Tr/i .^ Q = - 7,

Donc

S', = 2T(7- — iTab = 42,

s; = 2T«'— 4T.-/^/^ ^ 6Trt'i== 882,

s; =-- 2Tr/«- 6Trt'6 -- iST^i'Z»-— 2oTrt^6'= 18669.

Ainsi, à cause des formules

on a

Donc, enfin, l'on obtient

pour l'équation aux car/es des différences des racines de l'équation x^ — 7 j: -f- 7 == o.

Nous engageons les commençants à traiter ce même exemple par l'élimination, afin de comparer les deux méthodes.

299. Ce moyen de déterminer les coefficients de l'équation aux carres des différences peut être également employé pour déterminer les coefû-