XPPLICATIONS DE LA THÉORIE DES FONCTIONS SYMÉTRIQUES
cients de l'équation aux somn:es des racines prises deux à deux, a -\- b, a -h c, b -i c,. . . [voir n° 296).
Soit
x^-j- Pji'-i- Qx h- R ^ o
l'équation proposée; l'équation aux sommes a -^ b, a -h c, b -^ c serait de la forme
et, en appelant S',, S'j, S'3 les sommes des puissances semblables des racines de cette seconde équation, on aurait, pour déterminer S',, S'j, S',, les formules
S', = (rt H- ^) -f-(« -f- c) 'i^[b -h c) = ^.{a -h b -{- r) = 2T<7, S2 =^ (rt H- b)--h[a -I- c)- -^ [b -^- cY = ■i.Ta'' -r- iTab, S'3 = (« -^ bf-^[a -r cY-^[b-i- cf = -xTa'-^ 3Ta'b.
Après avoir calculé les sommes S,, S^, S3 de la proposée, on en déduirait les valeurs de T«', Tab, Ta^, Ta^b, ce qui ferait connaître S',, S'^, S'^; et l'on obtiendrait enfin P', Q', R', d'après les formules
S', + P'-=o, S;-!-PS', -^2Q'=o, S'3-4-P'S'j+Q'S', 4-3R'=o.
On opérerait d'une manière analogue pour former une équation dont les racines fussent des combinaisons de celles de la proposée, de la forme a ->- b -{- /tab, a -h c -h /cac, ... ; on aurait, pour une équation du «'""' degré,
S\={a -h b -i- /iab) -h (a -^ c -^ Aar)-^ . . .= [m — i)Ta -h /,Tab, • S;= [a-hb + kabf-T-... = (w — i)T«=^ •iTrtZ' -^i/,Tn^b -n PTa'b\ S\={a^b-i-/,abY-^... = {m-i)Ta'^3T:a'b-i-'i/c{Ta'b-^iTa^b') ■^ZPTa'b'^ PTa'b\
Nous proposerons les exercices suivants :
Déterminer :
1° L'équation aux carrés des différences des racines de l'équation
Résultat : z- — 36 z' -4- 824 z + 459 = o.
Cet exemple a déjà été traité (27i) par la méthode d'élimination.
4l4 CHAPITHE VII.
1° L'éqiintinn aux sommes deux à deux dcs racines de l'équation
x^ — "ix — 2=0.
Résumât : z^ — 32-f-2=o.
3" L'équntion dont les racines soient des combinaisons de la forme a -i- b -i- ab des racines de l'équation
x^-^ Sx' — ^x — 1% ^- o.
Résultat : z^ -+- loz^ -i- 17 z — 28 = o.
4° Véqualion dont les racines soient les sommes deux à deux des racines de l'équation
x^ — 6^^ — 5 j:' ^- ^ix H- 40 — o. Résultat : z*^— i8z^-- 982^— 96 z"— 7472^-1- 2822 z — ig44 =0.
300. Nous terminerons les applications de la théorie des fonctions symétriques par la démonstration d'un très-beau théorème sur l'élimination.
Ce théorème, dû à Bezout, consiste en ce que le degré de /'équation finale cjui résulte de l'élimination de l'une des inconnues, entre deux équations d'un degré quelconque à deux inconnues, ne peut être pins grand que le produit des degrés des deux équations ; et il est justement égal a ce produit lorsque les équations proposées sont les plus générales de leurs degrés.
Avant d'en développer la démonstration, il est indispensable de faire connaître la forme d'une équation complète du m'""' degré à deux inconnues.
Nous avons déjà reconnu (116) que toute équation du second degré peut être ramenée à la forme
Mar'^Nj:-f-P== o,
M étant une quantité toute connue, N un polynôme du premier degré en j, et P un polynôme du second degré.
En général , une équation à deux inconnues est dite du m'"'" degré lorsque, le plus haut exposant de chaque inconnue étant w, la somme des exposants de ces deux inconnues dans un même terme ne surpasse pas m (*). Il résulte évidemment de là que toute équation du degré m
(*) On suppose ici que les dénominateurs, s'il y en a, ne renferment pas les inconnues x^ij; autrement il faudrait d'abord chasser les dénominateurs. (^Voir la remarque du n° 92.)
APPLICATIOX A L ÉLIMINATIO.V. 4l5
peut être ramenée à la forme
Ax^ -h BjT-' -i- Cj:"-'— Dx"-^ ~ . . .-i- Tx - U = o,
A étant une quantité connue, numérique ou algébrique, B un polynôme du i" degré en j>-, tel que
ùr - b'.
C un polynôme du 2^ degré en j-, tel que
cr^— c'r^ c",
D un polynôme du 3^ degré enr, tel que
T un polynôme du [m — i )'"'"'* degré en )\ tel que
D un polynôme du t7i""" degré en v, tel que
uy"' — u'y"'-'^ ~ . .
(quelques-uns des coefficients b, b', c, c',. . . peuvent être nuls dans les cas particuliers).
301. Cela posé, considérons les deux équations à deux inconnues
Aaf" -h Bx"-' -^Cx"-"— . . . -f- Tj: — U = o, k'af -~ B'x"-' ^ C'jf-^-^ . . . ^ T'^ -^ U' = G,
que nous désignerons, pour abréger, par
Concevons, en outre, que la première équation soit résolue complètement par rapport à x (quoique nous n'ayons pas encore les moyens d'effectuer cette opération), et qu'elle donne les m valeurs x = a. x = è, x = c,... {a,b,c,... étant alors des fonctions de r).
Chacune de ces m valeurs de .r, substituée dans l'équation M = o, doit la vérifier, quelque valeur que l'on attribue à j après celte substitution.
D'un autre côté, si l'on porte ces m valeurs successivement dans le premier membre de l'équation N = g, on obtient les expressions
A'rt"-f- B'rt"-' — ..., X'b"---B'b"-' — ..., A'c^-i-BV-'-t-...,
qui sont, en général, des fonctions irrationnelles dey. Or je dis que
4l6 CHAPITRE YIl.
toute valeur, r = 6, qui rend nulle l'une de ces fonctions, est une valeur convenable (267).
En effet, supposons, par exenaple, que 6 rende nulle la fonction
A' rt"-^B' «"-'-;-...;
et désignons par or = a ce que devient x = « lorsqu'on remplace / par 6 dans a ; le système [x —u,y=.t) vérifie évidemment M — o, puisqu'on a déjà vu que or = a la vérifie, quel que soit /. En second lieu, j = 6 rendant nulle la fonction v
A'rt"-4-B',7"-'^...,
qui n'est autre chose que le premier membre de N = o, dans lequel on a mis rt à la place de x, vérifie N = o en môme temps que x = x, valeur de a qui correspond à r = §.
On voit donc que [x — x^ y ^ &) forme un système commun aux deux équations M = o et N = o ; ainsi y = ^ est une valeur convenable.
Réciproquement, toute valeur convenable de y doit anéantir l'une des fonctions ci -dessus.
Car, pour être convenable, il faut qu'elle satisfasse aux deux équations en même temps qu'une certaine valeur de x; or toutes les valeurs de x convenables sont comprises dans x = a, x = b, x = c,. . .; e\, dès que l'on fait or = « ou x= b,..., le premier membre de N = o retombe dans l'une des fonctions ci-dessus, qui doit, par conséquent, s'évanouir par l'hypothèse j = §.
On peut conclure de là que, si Von égale à zéro le produit de toutes CCS fonctions, /'équation cju'on obtiendra sera (sans aucun fadeur étranger ) l'équation finale qui doit résulter de l'élimination de x entre les deux proposées.
Cette équation finale, que nous nommerons l'équation (Y), est donc
(A'û"+ B'rt"-' -r- . . .) (A'Z)" -^ B'^"-' H- . . .) (A'c" -i- BV"-' -t- . . . ) = o.
Sa formation semble reposer sur la résolution complète de l'équation M = o par rapport à x : mais nous allons voir que cette dernière opération n'est pas nécessaire, et nous reconnaîtrons, dans ce qui vient d'être dit, une nouvelle méthode cV élimination.
Remarquons d'abord que l'équation (Y) ne change pas, quelque permutation que l'on fasse entre les racines c/, 6, c, d,. . .; ainsi le premier membre est (291) une fonction symétrique rationnelle et entière des ra* cines de l'équation M = o, résolue par rapport à x. Donc, en vertu du théorème établi (295), ce premier membre peut être exprimé au moyen des coefficients A, B, C,. . . de l'équation M = o, et il est possible <
DEGRÉ DE l'équation FINALE. 4' 7
former l'équation (Y) sans que l'on soit obligé de résoudre d'abord l'équation M = o.
Cette méthode, qui est assez simple pour deux équations du second degré, devient très-laborieuse lorsqu'on veut l'appliquer à des équations d'un degré plus élevé. Elle a toutefois, sur la méthode exposée (269) et sur plusieurs autres, l'avantage de conduire toujours à la véritable équation finale, sans l'introduction d'aucun facteur étranger.
Mais, ici, notre principal objet est de démontrer le théorème sur le degré de r équation finale.
302. Pour déterminer le degré en y de l'équation (Y), il suffit de considérer un terme de rang quelconque. Or chaque terme du produit qui compose le premier membre se forme de la multiplication d'un terme du premier lacteur par un terme du second, par un terme du troisième, etc. Soient Ka*, K'^*', K"c*",... des termes pris au hasard dans chacun des m facteurs : le terme correspondant du produit sera
KK'K"; :. .x rt*^*'c*". .
D'ailleurs le produit total est symétrique en ^?, Z*, c, ...; donc ce terme fait partie d'une des fonctions symétriques qui entrent dans la composition de (Y); et cette fonction partielle peut elle-même être représentée (293) par
KK'K"x...xT«*Z»*'c""....
Il suffit donc de déterminer le plus haut degré en y de cette fonction.
Or, si l'on se rappelle la composition des formules qui donnent S,, Sj, S3. , ., (292), et que l'on ait égard aux degrés en y des coefficients A, B, C, . . - de l'équation M = o (300), on verra que S,, Sj, S3,. . . , S^ sont du premier, deuxième, troisième degré, et, en général, du degré // en j-. Donc S^ X Sa' X S/j- ... est d'un degré marqué par h -v- h' -+- h" -h ... •. et, d'après les formules (291), qui donnent l'expression d'une fonction symétrique quelconque , 1 a'' l/' c''" . . . est aussi du degré h -h /^'-^- /i"^ . . . , et ne peut surpasser ce degré.
D'un autre côté, soient /•, k', />",. . . les exposants de y dans les coefficients K, K', K",. . . ; la somme des exposants du produit KK'K". . . est / f- /'-+. /". . . , Ainsi, dans la fonction KK'K" x . . . x Ta^b'^'c"'. ... la somme des exposants est
/■ + / ' -^ /•" H- . . . -4- /i -+- A' ^ /i" ^ . . . : mais, daprès la composition de l'équation N = o, on a tout au plus
k -^ h — «, k' -+- h' — n, k" -i h" — n,. . . . Alg. D. 27
