RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES A UNE OU A PLUSIEURS INCONNUES

Les principes que nous avons établis dans le Chapitre précédent sont applicables à toutes les équations, de quelque nature que soient leurs coefficients, numériques ou algébriques; et ces principes doivent être regardés comme les éléments des méthodes employées pour résoudre les équations de degré supérieur.

Nous avons déjà dit que les analystes ne sont parvenus jusqu'à présent ({u'à la résolution des équations générales du troisième et du quatrième degré. Les formules qu'ils ont obtenues pour les valeurs des inconnues sont si compliquées et d'un usage si peu commode, lorsque toutefois on peut les apphquer (ce qui n'est pas toujours possible), que Ton doit regarder le problème de la résolution des équations algébriques d'un degré quelconque comme plus curieux qu'ulite. Aussi les analystes ont-ils dirigé principalement leurs recherches vers la résolution des équations numériques, c'est-à-dire de celles dont les coefficients sont des nombres particuliers; et ils ont trouvé des méthodes au moyen desquelles, une éqmttion numérique cVun degré quelconque (à coefficients réels) étant donnée, on peut toujours déterminer ses racines.

C'est l'ensemble de ces méthodes que nous nous proposons de développer dans la première Partie de ce Chapitre, du moins en ce qui concerne les racines réelles.

La seconde aura pour objet le complément de l'élimination, ou la résolution des équations numériques à plusieurs inconnues.

Première Partie : Equations numériques à une inconnue. — Pour la généralité de nos raisonnements, nous représenterons encore l'équation proposée par x"-(- Vjf~^-i- Ç^af^^-^-. . . = o; mais les lettres P, Q, . . . seront censées désigner des nombres particuliers et des quantités réelles, positives ou négatives.

§ \". — Prin'cipes fondamentaux. — Limites des racines.

303. Premier principe. — Si deux nombres p et q [àQ signes quelconques), substitués à la place de x dans une équation numérique X = o,

4^*0 CnAPlTRF. VIII.

donnent deux résultats de signes contraires, ces deux nombres comprennent au moins une racine réelle de la /proposée.

Avant de démontrer cette proposition, nous ferons voir que, si un nombre r/, mis à la place de .r, dcms un polynôme X, fonction entière de X (230), mais dont les coefficients sont numériques et réels, a donné un certain résultat A, on pourra, en remplaçant x par a -\- h, et prenant h suffisamment petit, obtenir un nouveau résultat qui diffère du premier d'une quantité moindre que toute grandeur donnée.

Soient, en effet, A, B, C, D. . . . ce que deviennent les poljiiômes X, Y,

-, — -< • • • (264), quand on y met a au lieu de x\ le polynôme X deviendra, par la substitution de <7 -+- /?,

A -:- B/; ^ CA' -- D//' - . . . - //", ou Lien

A -f- // (B -- C/^ + DA'-f- . . . + A"'-').

La quantité // (B h- C/( h- . . .) est l'expression de la différence entre les résultats des substitutions de « -t- /( et de a ; et c'est cette différence qui doit être reconnue susceptible de devenir moindre que toute grandeur donnée, pour une valeur convenable de //.

Or, B, C; D, . . . étant des quantités finies de signes quelconques, considérons le cas le plus défavorable qui puisse se présenter, celui où elle.^ seraient toutes positives et égales à K, la plus grande d'entre elles. L'expression // (B 4- C// -1- . . . ) devient

KA(i — /r)

K//(i-f- // -H/i^^...-'-/i'"-'), ou (31

quantité moindre que . i tant que l'on a ^ < i .

Cela posé, si l'on veut, par exemple, que la différence soit moindre qu'une quantité donnée N, il n'y a qu'à poser

== ou < N, ce qui donne //

et toute valeur de li qui satisfera à cette dernière condition satisfera nécessairement à l'inégalité

et, à plus forte raison, à l'inégalité

ce qui est bien le résultat demande.