PRINCIPES FONDAMENTAUX DE LA RÉSOLUTION, ETC
Nous pouvons actuellement démontrer le pnncipe énoncé ci-dessus, en convenant, pour fixer les idées, que, des deux nombres p et (j, p sera le plus petit, c'est-à-dire celui qui se rapproche davantage de Vù/J//// négatif. Cela posé, p et 7, mis à la place de x dans l'équation X = o, donnant, par hypothèse, deux résultats de signes contraires, P, et Q , on peut concevoir que l'on fasse varier x, par degrés insensibles, depuis /> jusqu'à 7; les résultats des substitutions successives varieront aussi par degrés insensibles, c'est-à-dire de manière à ne différer les uns des autres que de quantités aussi petites que l'on voudra (ce qu'on exprime en disant que le polynôme X est soumis à la loi de continuité, ou varie d'une manière continue dans l'intervalle de P, à Q, ). Or une quantité qui est constamment finie (*) ne peut passer du positif au négatif, ou réciproquement, qu'en passant par la valeur zéro.
Donc, parmi les nombres compris entre p et 7, il y en a nécessairement (UL moins un qui donne un résultat égal à zéro; et ce nombre est alors une racine de l'équation X = o.
30i. Second principe. — De ce que deux nombres substitués à la place de x dans une équation donnent deux résultats de signes contraires, on est en droit de conclure qu'ils comprennent au moins une racine réelle; mais on ne peut pas affirmer qu'ils n'en comprennent qu'une seule, et ils peuvent en comprendre un nombre impair quelconque.
Ceci résulte d'une nouvelle proposition que nous allons démontrer, et qui consiste en ce que :
Si deux nombres p et 7 comprennent un nombre impair quelconque, 2« -h I, de racines réelles, les résultats de leur substitution à la place de X sont de signes contraires; et s'ils en comprennent un nombre pair quelconque, a«, les résultats de leur substitution sont nécessairement de même signe.
Pour mettre cette proposition dans tout son jour, désignons par a, b, c, . . . celles des racines proposées de l'équation X = o que l'on suppose comprises entre les nombres p et 7, de signes quelcntiques, et par ■i({x) le produit des facteurs du premier degré en x qui correspondent tant aux racines réelles non comprises qu'aux racines imaginaires.
Le premier membre, X, de l'équation peut se mettre sous la forme
(*) En général, une fonction de x peut passer de l'état positif à l'état négatif, soit en p:issant par V infini, soit en passant par la valeur zéro; mais ici les coeflicients de la proposée étant des nombres finis, et x n'entrant pas en dénominateur, la valeur de X ne peut pas devenir infinie.
rnAPITRE VIIU
lituons maintenanl, dans le produit précédent, /* et 7 à la place c (p étant < ^) ; nous obtenons les deux résultats
i'I ~n)[q -b]{q~c)x...Xo[q];
^[p) ©l 7(7) désignant ce que devient <^{x) lorsqu'on y remplace x par p et q. {Ces deux quantités <a{p) et «(/y) sont nécessairement de même f>igne, puisque, autrement, en vertu du premier principe, o (x) aurait encore au moins une racine réelle comprise entre p et q, ce qui serait contre l'hypothèse.]
Cela posé, pour déterminer plus facilement les signes des deux résultats ci-dessus, divisons le premier par le second; il vient
{p — a)(p — b]lp — r) X...X ?(/>)
ou bien
IJ — U q—b q — C 'i[q}
Mais /7 et 7 comprenant les racines a, 6, c. . . . , et p étant < 7, oh a nécessairement
p <Cc, b^ c,. ^ ., et q l^> a, b, c . , .:
tfoii l'on déduit
p-a, p — b, p—c,... < o, et
Donc, puisque p ~.a et 7 — « sont de signes contraires, de même que p — b ei q — b, p — c et q — c,. . ., \es quotients partiels 1 —
• • sont tous négatifs. D'ailleurs ^; - est essentiellement positif,
puisque '- [p) et ç{q) sont de môme signe; ainsi le produit p-f^ p — ^' .^ r — f- ^^ ^^ ?(/^)
q —fl"^ q — b^^ q~ c'^'" "({-{«y)
sera négatif ?\ les racines comprises <?, /;, c,. . . sont en nombre impair, et positif s\ elles sont en nombre pair.
Donc, enfin, les deux résultats [p — a) [p — b){p — c] x . . .x »(/>) et (7 — "){q — b]{q — <■) X — X ^(7) seront de signes contraires ou de mémo si^ne, suivant que les racines comprises entre p et 7 seront en nombre impair ou en nombre pair.
LIMITE SUPÉRIEURE DES RACIXES POSITIVES. jlfaS
Conséquence. — Il résulte nécessairement de cette proposition que, si deux nombres, substitués à la place de x dans une équation^ donnent deux résultats de signes contraires, ils comprennent au moins une racine, mais ils peuvent aussi en comprendre un nombre impair quelcomjue; et s'ils donnent deux résultats de même signe, ou ils ne comprennent aucune racine, ou bien ils en comprennent un nombre pair quelconque.
Limites des racines réelles des équations.
Les diverses méthodes inventées pour la résolution des équations numériques se réduisent, en dernière analyse, à substituer, dans l'équation, des nombres particuliers qui, la vérifiant, en sont alors reconnus racines, ou qui, du moins, sont jugés devoir comprendre une ou plusieurs racines. Mais, en réfléchissant sur l'accroissement rapide (à mesure que X augmente) du premier terme par rapport aux autres, qui sont de degré moindre, on sent qu'il doit exister un nombre susceptible de rendre ce premier terme à lui seul supérieur à tous les autres réunis, c'est-à-dire à leur somme aiithmétique (62), et qui, par conséquent, substitué dans l'équation, donne nécessairement un résultat de même signe que ce premier terme (qu'on peut toujours regarder comme positif). Ce nombre est donc une limite au delà de laquelle toute autre substitution deviendrait inutile, puisqu'on serait sûr d'obtenir des résultats constamment positifs, et jamais nuls. C'est donc par la détermination d'un pareil nombre qu'il convient de faire précéder le développement des méthodes de résolution.
30u. On appelle limite supérieure des racines positives d'une équation tout nombre qui surjjasse la plus grande des racines positives de cette é([uation.
D'après cette définition, il existe une infinité de limites supérieures pour une équation donnée; car, dès qu'un nombre est reconnu supérieur à la plus grande racine positive, tout nombre plus grand jouit à plus forte* raison de cette propriété; mais alors on doit se proposer d'obtenir la limite la plus petite possible. Or on est certain d'avoir une limite dès que l'on a obtenu un nombre qui, substitué a la place de x, rend le premier membre positif, et qui est tel en même temps, que tout autre nombre plus grand donnerait aussi un résultat positif.
Occupons-nous donc de la détermination d'un nombre qui jouisse de cette double propriété.
306. Commençons, avant tout, par résoudre la question suivante ; On demande un nombre qui, substitué à la place de x dans une équation.
4^4 CHAPITHE VIII.
rende le prewier terme x" plus s^rnnd, à lui seul, que la pomme arith-
Tlétique de tous les autres.
Supposons, à cet effet, que tous les termes de l'équation soient négatifs, à partir du second, en sorte que l'on ait
jr"' — P.r"'-' - Q^-"'- - — . . . - Tx — U ^^ G ;
il s'agit alors de trouver pour x un nombre qui rende
(i) .r"'> Px™-' -'- Qj/"-'t- t. .. . x-t- U.
Or, si l'on désigne par K le plus grand de tous les coefficients, et qu'on pose la nouvelle inégalité
(2 ) j"" > Ko;"'-' -h Kx"'-' -:-... -r- Kar — K,
il est évident que tout nombre qui, mis à la place de -r, satisfera à celle-ci, satisfera, à plus forte raison, à la précédente.
Mettons d'ailleurs le facteur x" en évidence dans l'inégalité (2); elle devient
^ ' -^ \x x' ^"-' Jf J
et sous cette forme on voit déjà que, quand un nombre substitué à la place de x aura satisfait à l'inégalité, tout autre nombre plus grand y
satisfera encore, puisque la somme des quantités — h ^r -i-. . . devient
d'autant plus petite que x est plus grand.
Cela posé, si l'on fait d'abord x = K dans l'inégalité (3), on a K'" pour le premier membre, et, pour le second
quantité plus grande que K"". Ainsi le nombre K ne satisfait pas à l'inégalité.
Essayons maintenant K -r- r, nous obtenons (K -f- 1)"" pour le premier membre.
Quant au second, pour en calculer plus facilement la valeur, remontons à l'expression
Kjf"'' t- Kx' - -... -;- K.r - K.
ou
K{x^ '-hx""^~...-i-x^i},
LrjIITE SUPÉRIEURE DES RACINES POSITIVES. 4-25
qui, d'après la propriété du n"31, ou d'après la formule du n" 193, revient a K — — — : et remplaçons x par K -+- i. Il vient, par cette substituliLn,
ou, réduisant, (K-^i)"'— i,
résultat plus petit que (K -+- 1)'".
D'ailleurs nous avons déjà reconnu qv.e tout autre nombre plus grand satisferait, à plus forte raison, à l'inégalité (3).
Donc, enfln, (K + i), ou le /Jus s^raml coefficic nt de l'équation, ai:gmente de l'unité, et tout nombre supérieur à (K-i-i) jouissent de la propriété de rendre le premier terme xf\ à lui seul, plus grand que In somme arithmétique de tous les autres.
307. Limite ordinaire des racines positives. — Le nombre que l'on vient d'obtenir peut être considéré comme une première limite, puisque ce nombre, ou tout autre nombre plus grand, rendant le premier terme supérieur à la somme de tous les autres, les résultats des substitutions de ces nombres à la place de x doivent être constamment positifs; mais cette limite est ordin;arement beaucoup trop grande, parce qu'en général l'équation renferme plusieurs termes positifs. Cherchons donc une limite plus- rapprochée de la plus grande racine.
Désignons par x^"-" la puissance de x, correspondant au premier terme négatif qui vient après le terme x"\ et considérons le cas qui est évidemment le plus défavorable (mais il est plus facile à traiter), celui où tous les termes sont négatifs à partir de j:"'-", et affectés du plus grand des coefficients négatifs qui entrent dans l'équation.
Soit S ce coefficient; tâchons d'abord de satisfaire à la condition
ou, mettant le facteur x"' en évidence
Cette autre forme prouve déjà que, quand on aura trouvé pour x un nombre qui satisfasse à l'inégalité, tout autre nombre plus grand y satisfera encore, puisque la quantité entre parenthèses devient d'autant plus petite que x est plus grand.
Or, si l'on pose d'abord
j:" = s, ou x-^ ;/'S --^ S',
