TROISIÈME QUESTION,'. — THÉORÈME
6. Si, aux deux termes d'une fraction proprement dite, ou d'un nombre plus petit que l'unité, on ajoute un même nombre entier, la nouvelle fraction qui en résulte est plus grande que la première.
Soit — la fraction proposée; ajoutant 3 à chacun de ses deux termes,
on obtient — r- Ces deux fractions, réduites au même dénominateur, de-
viennent -r-i tt-^; or la deuxième fraction est évidemment plus grande que bo 60
la première.
Pour reconnaître si le théorème énoncé est vrai, quelle que soit la fraction proposée, désignons cette fraction par j-, en supposant a < b.
Soit m le nombre ajouté aux deux termes de cette fraction, il en ré-
,. rt -f- m suite ;
Afin de comparer les deux fractions, il faut les réduire au même dénominateur : il suffit pour cela de multiplier les deux termes a et b de la première fraction par b -+- m, et les deux termes de la seconde par b. Or multiplier a par b -h w/, revient à prendre a autant de fois qu'il y a d'u-
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nités dans b, autant de fois qu'il y a d'unités dans ;;?, ce qui donne ab -^ am. On prouverait de même que le produit de b par b -\- m est
è" -I- bm^ ce qui donne .^ . — pour la première fraction. De même, à
l'on multiplie les deux termes de la seconde -, — '■ — par b, comme on l'a vu
(S), elle devient
b'- -r- bin
Les deux numérateurs ab -r- am, ab -;- hw, ont une partie commune ab ; et la partie bm du second numérateur est plus grande que la partie am du premier numérateur, puisqu'on a supposé by- a. Donc aussi la seconde fraction est plus grande que la première; ce qu'il fallait démontrer.
On voit d'ailleurs, par le raisonnement précédent, qu'il faut que -j soit
une fraction proprement dite, pour que le théorème soit vrai; car autrement, la seconde fraction serait moindre que la première, puisque alors on aurait ah ~ bm ^-^ ab -i- am.
1. En réfléchissant sur les moyens de résolution des questions précédentes, on sentira que l'emploi des signes algébriques doit donner lieu à des règles communes à plusieurs questions. C'est ainsi, par exemple, que dans la seconde et la troisième, on a été conduit à effectuer la multiplication d'une somme a — b par un nombre c, d'une somme a -^ b par b, d'un nombre a par une somme b^r- m. D'où il résulte qu'en établissant des préceptes généraux pour trouver les résultats des opérations qu'on peut avoir à effectuer sur les quantités algébriques, on aurait des moyens fixes de résoudre, par les symboles algébriques, toutes les questions relatives aux nombre^.
Cette partie de l'Algèbre a pour titre : La manière d'effectuer les opérations de l'Arithmétique sur les quantités algébriques ou littérales , c'està-dire sur les nombres représentés par des signes algébriques.
On ne peut se dissimuler que cette partie ne soit un peu aride, peutêtre même rebutante pour les commençants ; mais il est indispensable de la bien posséder, si l'on'veut avancer rapidement dans le champ vaste et fécond de l'Altrèbrc.
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