LIMITE SUPÉRIEURE PAR LES DÉCOMPOSITIONS

Prenons pour exemples les équations suivantes : 1° X*— 5x^^37 x^—3.r ^3ç)- o, S -^ i =5-f- 1 = 6;

2° x^-f- 7^' — laj:'— 49:»^' ^ 5^^ — i3 = o, i-- v^ -=i-!- V^49 ~^ 8; 3° a-'-f-iix-— 25j: — Gy - o, i-î- V^'S = 1-+- y'Gj = 6;

4° Bjt"— 2^-— iijr-f- 4 = 0, Sh-i = ^-+-i = 5.

N. B. — Dans le dernier exemple, on a d'abord divisé l'équation par 3, avant d'établir la limite, parce que, dans la recherche de la limite générale, le coefficient du premier terme a été supposé égal à l'unité.

De plus il est d'usage d'exprimer cette limite en nombres entiers.

308. Souvent, au moyen d'une transformation exécutée Sur l'équation, on obtient une limite plus petite que ^S ^ i.

Considérons, par exemple, la première des équations ci-dessus; elle peut être mise sous la forme

f .r — 5 ) -1- 37 .r Lr — 7;- 1 -H Sg

Or il est visible qu'en y mettant, pour .r, 5 ou tout autre nombre plus grand, on obtiendrait un résultat constamment positif; donc 5 est une limite, tandis que l'on avait tronvé 6 d'après la formule.

On a de même, pour la seconde équation,

3^'\3lf — 49 ! -^ 1^ \^ ~ ) -T- 02 I x — - J = o

(en réunissant le premier et le quatrième terme, le second et le troisième, etc.); or on voit que j: = y'^g, c'est-à-dire 4) ou tout autre nombre plus grand, donnerait un résultat positif.

L'artifice de cette méthode, qui ne peut s'appliquer qu'à certaines équations, consiste à décomposer le premier membre en plusieurs parties composées chacune de deux facteurs dont le premier soit un monôme affecté du signe -i-, et r autre un binôme en x dont le second terme soit numérique et négatif, puis à déterminer x de manière (pie tous les facteurs entre parenthèses soient positifs.

Elle est rarement applicable à des équations renfermant plusieurs termes consécutifs alTectés du signe — .

Par exemple, on ne peut l'appliquer à une équation telle que

x^ — âx' — i3.r'-7- 17a:- — Gg = o.

/JaS ciivi'iruE viii.

Toutefois, commo le premier membre de cette équation peut se mettre sous la forme

( o fin

on reconnaît aisément que i3 + i, ou i4, serait une limite supérieure.

309. Méthode de Newton pour déterminer la limite supérieure lu plm petite possible (en nombres entiers).

Soit X = o l'équation proposée; si l'on fait, dans celte équation,

X ^ x' -i- u, x' étant une indéterminée, on obtient (2G2) la transformée

dont les coefficients s'obtiennent d'après une loi connue. Cela posé, concevons que, par des essais successifs, on soit parvenu

à déterminer pour x' un nombre qui, substitué dans X', "V , — ) • ■ >

rende tous ces coefficients positifs à la fois; je dis que ce nombre est supérieur à la plus grande racine positive de r équation X = o.

En effet, les coetBcients de la transformée étant tous positifs, aucun nombre absolu ne peut vérifier cette équation. Ainsi les valeurs réelles de u doivent être toutes négatives. Mais de l'équation x =^ x' -^ u on tire K = ^ — .r' ; et pour que les valeurs de u qui correspondent à chaque valeur de x et à la valeur de x' (déjà déterminée) scient négatives, il faut absolument que la plus grande valeur positive de x soit moindre que la valeur de x' . c. q. f. d.

Voici, d'ailleurs, la manière d'appliquer ia méthode.

Soit l'équation

x^ — 5a.-' — Ç)x"- — ig.f -t- 7 :^ o.

Comme x' est un caractère indéterminé, on peut conserver la lettre x lans la formation des polynômes dérivés ; et l'on a

X= x"^ — bx^ — 6.r^— 19.C -i- 7, Y -^ 4 ■*' — \bx- — IX X — 19,

- = (Sx''— i5.r — G,