DÉTERMINATION DES AUTRES LIMITES

La question est, comme on vient de le voir, ramenée à trouver pour x un nombre entier (le plus petit possible) qui rende tous ces polynômes positifs.

Commençons par le polynôme du premier degré; il est visible que 2, ou tout autre nombre > 2, le rend positif.

2, substitué dans le polynôme du second degré, donne un résultat négatif; mais 3, ou tout nombre ;"- 3, donne un résultat positif.

3 et 4i substitués dans le polynôme du troisième degré, donnent un résultat négatif; mais 5 donne un résultat positif, et il en serait de même (le tout autre nombre plus grand.

Enfin 5, substitué dans X, donne un résultat négatif; et il en est de même de 6, car les trois premiers termes j:*— 5^:'— 6^:^ reviennent à x^[a: — 5) — 6x% expression qui se réduit à zéro dès que l'on fait x = 6; mais X = 7 donne évidemment un résultat positif.

Donc 7 est une lunite supérieure des mêmes positives de la proposée , c'est d'ailleurs, en nombres entiers, la limite la plus petite, puisqu'on vient de reconnaître que 6 donnait un résultat négatif, d'où il suit (303) qu'il y a au moins une racine comprise entre 6 et 7.

En général, on obtiendra par cette méthode la limite la plus petite en nombres entiers, toutes les fois que l'on aura reconnu qu'un certain nombre entier K et tout /lombre plus grand, rendant positifs tous les polynômes dérivés, mais négatif \e polynôme proposé, K -h 1 rend celui-ci positif. La limite la plus petite est alors K -i- i.

C'est ainsi qu'on trouvera que G et 7 sont les limites respectives des équations

x^ — Zx' — 8.r^ — 25x^-^4-*' — 39 = 0, x^ — bx* — 1 3 j;' - r- 1 7 .r' — 69 = o .

N. B. — On conçoit que cette méthode (qui n'est d'ailleurs employée que dans la recherche des racines incommensurables) peut donner même une quantité moindre que l'unité pour limite supérieure ; puisque, d'après la nature de cette méthode, il suffit de trouver pour x un nombre qui venue positifs le polynôme proposé et ses dérivés. (Nous en verrons un exemple au n" 342.)

310. Il nous reste maintenant à déterminer la limite supérieme des racines négatives, et les limites inférieures des racines, scit positives, soit négatives.

Dorénavant nous désignerons par la lettre L la limite supérieure des racines positives d'une équation, de quelque manière qu'on l'ait obtenue.

1° Si, dans l'équation X = o, on fait x — — y, ce qui donne la transformée Y = o, il est clair que les racines positives de cette nouvelle équa-

43o CHAPITRE Vm.

lion, étant prises avec le signe — , donneront les racines négatives de la proposée; donc, en déterminant [)ar les moyens connus la limite supérieure L' des racines positives de la transformée, on aura — L' [)0ur la limite supérieure (numériquement) des racines iit'galives de la proposée.

2° Si, dans l'équation X = o, on fait x = - v il en résulte une transformée Y = 0, dont les coefficients sont ceux de la proposée écrits dans vm ordre inverse. Or il suit de la relation x — ~ qu'aux plus grandes valeurs positives de ;- correspondent les plus petites de x\ donc, en désignant par / la limite supérieure des racines positives de la transformée,

oa aura - pour la lindte inférieure des racines positives de la proposée .

3° Eiifin si, dans la proposée, on remplace r par ■ — -5 et qu'on cherche la limite supérieure /' des racines positrv^es de la transformée Y = o, — j, sera la limite inférieure (numériquement) des racines négatives de la proposée.

Sli . TV, B. — Nous terminerons par deux remarques fort utiles dans la recherche des limites.

Premièrement, tonte équatioji qui n'a que des permanences de signes, c'est-à-dire dont tous les termes sont positifs, ne peut avoir pour racines réelles que des nombres négatifs ; car tout nombre positif, mis à la place de Xj rendrait le premier mennbre essentiellement positif. Ainsi, dans ce cas, zéro est la limite supérieure des racines positives.

En second lieu, toute équation complète, dont les termes sont alternativement positifs et négatifs, c'est-à-dire qui n'a que des variations de signe, ne peut avoir pour racines réelles que des nombres positijs; car il est évident que tout nombre négatit', mis à '^ place de x dans la proposée, rend tous les termes positifs si l'étiuation est de degré pair, et tous les termes négatifs si l'équation est de degré impair. Ainsi la somme des termes ne peut devenir nulle.

Donc, dans ce cas, il est inutile de rechercher les hraites négatives.

Il en est de même de toute équation incomplète, telle que, si Von change X en — j', // en résulte une trcmaformée qui na que des pcniuinences.

Co^•sÉQUE^'CES déduites des prin'cipes précédents.

Va principe fondamental de la résolution des. équations numériques, et ceux que nous venons d'établir sur les limites, ont conduit les. géomètres à des conséquences Lrès-importautes.

CONSÉQUENCES DliS rRi:;CIFE3 PRÉCÉDENTS. ^il

312. PnEMiÈBE CONSÉQUENCE. — Toiitc é<]uation de de^ré impair, dont les coefficients sont réels, a au moins une racine réelle de si^nc cun'raire à son dernier ternie.

En effet, soit x'"-t- P^~' -+-. . . -h Tx du U = o l'équation proposée; et considérons d'abord, le cas où le dernier terme est ncgntif.

Si l'on fait x = o dans l'équation, le premier membre se réduit à — U. D'un autre côté, substituons, à la place de .r, (K-i- i),ou (306) le plus grand coefficient de l'équation augmenté de l'unité; comme, par cette substitution, le premier terme x"' est à lui seul plus grand que la somme arithmétique de tous les autres termes, il s'ensuit que le résultat de la substitution est positif. Donc, en vertu du principe démontré (303), a y a au moins une racine réelle comprise entre zéro ^^ (K -i- i), laquelle racine est positive et, par conséquent, de signe contraire au dernier terme.

Supposons actuellement le dernier terme positif.

En faisant toujours x = o, on trouve pour résultat h- U ; mais en mettant, pour X, — ( K -t- i), on obtiendra un résultat nécessairement néga'ij, puisque le premier terme x^, qui devient négatif par cette substitution, donne son signe à toute l'expression. Donc l'équation a au moins une racine réelle comprise entre zéro et — (K H-i), c'cst-à-dire négative ou de signe contraire au dernier terme.

Seconde conséquence. — Toute équation de degi-é pair, à coefficients réels, dont le dernier terme est négatif, a au moins deux racines réelles, l'une positive et l'autre négative.

En effet, soit — U son dernier terme ; en faisant x = o, on trouve pour résultat — U. Substituons successivement (Kh-i) et — (K-i-ij, K étant toujours (306) le plus grand coefficient de l'équation; comme m est pair, le premier terme j:^' reste positif. D'ailleurs il devient plus grand, par ces- substitutions, que la somme de tous les autres; donc les résultats des deux substitutions sont l'un et l'autre positifs, ou de signe contraire à celui que donne l'hypothèse x ^ o. Ainsi l'équation a au moins deux racines réelles, l'une comprise entre zéro et (K -+-i), ou positive, et l'autre comprise entre zéro et — (K -+- 1), ou négative.

N. B. — On ne peut rien conclure pour toute équation de degré pair dont le dernier terme est positif, et même il est aisé de former des équations qui n'aient que des racines imaginaires : il suffit, pour cela, de multiplier entre eux plusieurs trinômes du second degré qui, égalés séparément à zéro, ne donneraient que des racines imaginaires; il est clair que l'équation ainsi formée n aurait elle-même que des racines imaginaires.

En rapprochant les deux conséquences précédentes de la proposition

432 ClI APURE MM.

(236), que toute équation a au moins une racine, on voil que celle proposition hypolhôlique se trouve maintenant démontrée pour la plupart decéqualions numériques; d'ailleurs les démonslratior.s des conséquences ci-dc.-^sus sont fondées sur le princi|ie du n" 303 et sur celui du n" 306. qui sont tout à fait indépendants de la théorie établie dans le Chapitre VII.

313. Troisième conséquenxe. — Si une éfjuatinn, dont les coefficients sont réels, n des racines imaginaires, ces racines ne peuvent être t/u'cn nombre pair.

En elfet, concevons que l'on ait divisé le premier membre de la proposée par tous les facteurs simples qui correspondent aux racines réelles : le polynôme cjitntient que l'on obtiendra aura ses coefficients réels (d après la loi de formation; du n° 23 > ) ; de plus, il doit être dr degré pair; car autrement, en l'égalant à zéro, on formerait une équation de degré impair qui (312) admettrait une racine réelle au moins; ce qui serait contraire à la nature de cette équation, qui ne doit plus renfermer que des racines imaginaires (*).

Reinarcjue. — Le polynôme quotient dont nous venons de parler jouit d'ailleurs d'une propriété cornctéristicjue, c'est-à-dire appartenant exclusivement aux équations qui n'ont que des racines imaginaires : c'est de rester constamment positif, quelque valeur réelle que Von y mette à la place de x.

En effet, s'il pouvait devenir négatif, comme on obtiendrait aussi un résultat positif en substituant, pour x, (K -r- i), ou le plus grand coefficient augmenté de l'unité, il s'ensuivrait que ce polynôme égalé à zéro aurait au moins une racine réelle comprise entre (K -t- i) et le nombre qui aurait donné un résultat négatif.

Il suit encore de là que le dernier terme de ce polynôme doit être pr-

(*) On peut encore considérer cette proposition comme une conséquence du théorème de M. Cauchy, puisque, dans le cours de la démonstration que l'on en donne ordinairement, on est conduit à prouver que toute équation qui a unt racine de Informe a-{-b\J — i en a nécessairement une seconde de la forme a — ^^|j ce qui entraine la conséquence que les racines imaginaires vont par couples. C'est ainsi, en efiet, que raisonnent tous les auteurs qui ont développé la démonstration du théorème précité. Mais nous persistons à penser que ce théorème, tant par la nature de sa démonstration que par les difficultés d'analyse qu'elle présente, ne saurait servir an point de départ à la théorie des équations. Au surplus, le fait analytique que les racines imaginaires des équations s'j- trouvent par couples et sont de la forme a -h l> ^ — i sera établi au commencement du Chapitre IX.