RÈGLE DES SIGNES DE DESCARTE

315. La règle suivante fait connaître le plus grand nombre de racines positives et le plus grand nombre de racines négatives qu'une équation numérique puisse renfermer.

Une équation d'un degré quelconque ne peut avoir plus de racines positives que de variations de signes, ni un nombre de racines négatives plus grand que celui des permanences, si toutefois (restriction nécessaire pour la seconde partie) Y équation est complète.

Pour démontrer la première partie de la proposition, nous ferons voir d'abord que la multiplication du premier membre d'une équation par un facteur a: — a correspondant à une racine positive introduit au moins une variation de plus.

Soit, en effet, l'équation

Ma:"'-r . ..— No/' — . ..^ PorP... . . .-i- -.- . . .-^Tx'dz. . .= o,

dont nous supposerons, pour la plus grande généralité possible, le premier membre composé d'une première série de termes positifs commençant par Mx'", puis d'une série de termes négatifs commençant par — Kx", puis encore d'une série de termes positifs commençant par -i- Px'', et ainsi de suite, jusqu'à une dernière série de termes de même signe commençant par ± T.r', et qui seront tous positifs, ou tous négatifs, suivant que ces séries alternatives de termes positifs et de termes négatifs seront Aiff. B. 28

434 CUAPITKE YIII.

en nombre impair ou en nombre pair, chacune d'elles pouvant se réduire à un seul terme.

Cela posé, multiplions le premier membre de l'équation par a- — a; nous obtiendrons deux produits partiels dont le premier aura ses termes affectés des mêmes signes que le multiplicande, et dont le second aura ses termes affectés de signes contraires à ceux du multiplicande, et avancés d'un rang vers la droite. On pourra donc, en ne tenant compte que des signes qu'il est utile de considérer, écrire les deux produits partiels et le produit total, de la manière suivante :

H- M.r""-)- ...— Nx" — ...-+- P^P-i-. . .r+iTx'dr... X — a

-h M.r"'-^' 4- . . . - Nar"+' — . . . -)- ?x^'+' -4- . . . zfc T a'"^' . . .

Or on voit tout de suite, à l'inspection de ce produit total, que son premier terme est positif comme celui du multiplicande; qu'au premier terme négatif — Nx" du multiplicande correspond un terme négatif du produit total, quels que soient d'ailleurs les signes intermédiaires; que, de même, au terme -+- V.z'' du multiplicande correspond un terme positif du produit total; et ainsi de suite, jusqu'au terme ±Tx' du multiplicande, qui est le premier de la dernière série, et auquel correspond également un terme du produit total, affecté du même signe que lui.

D'où il résulte qu'à chaque variation de signe du multiplicande correspond nu moins une variation du produit total ; mais celui-ci est terminé par un terme affecté du signe ^, qui amène nécessairement au moins une variation qui ne se trouve pas dans le multiplicande. Donc l'introduction d'une racine positive dans une équation fait naître au moins une variation de plus. G. Q. F. D.

Maintenant, si l'on conçoit qu'une équation à coefficients réels ait été d'abord débarrassée de tous les facteurs x — a, x — b, x — c,. . . correspondant à ses racines positives, et qu'ensuite on les introduise successivement dans le polynôme-quotient, comme chaque nouvelle racine introduite produit au moins une variation de plus, il s'ensuit que l'équation résultante, ou l'équation proposée, ne saurait avoir plus de racines positives (pie de variations; ce qui constitue la première partie de la proposition énoncée au commencement de ce numéro.

Quant à la seconde partie, il suffit d'observer que, si l'on change x en — X dans une équation, ce qui revient (310) à changer les racines positives en racines négatives, et réciproquement, les variations de signes de