RÈGLE DES SIGNES DE DE^CARTES

l'équation deviendront des permanences, et réciproquement, si l'équation est complète. Or, en vertu de ce qui vient d'être dit, la transformée ne peut pas avoir plus de racines positives que de variations de signe ; donc la proposée elle-même ne peut pas avoir plus de racines négatives que de permanences .

N. B. — Le moyen de démonstration que nous venons d'exposer est dû à M. Gauss, qui a, en outre, fait plusieurs remarques relatives au cas où léquation est incomplète (*).

Nous nous bornerons à faire observer, d'après lui (et nous insistons sur ce point), que la première partie de la proposition est toujours vraie, quelle que soit l'équation, complète ou incomj.lète ; mais que la seconde partie peut être en défaut si l'équation est incomplète.

Ainsi soit, par exemple, l'équation du quatrième degré

Cette équation, ayant son dernier terme négatif, a au moins (312) deux racines réelles, Y nuQ positive, l'autre négative; et cependant, comme elle n'a que des variations de signe, il semblerait qu'elle ne peut avoir aucune racine négative; mais si l'on complète l'équation en rétablissant le terme en x^, il vient

équation qui présente une permanence, soit qu'on prenne le coefficient o avec le signe +, soit qu'on le prenne avec le signe — ; et le paradoxe disparaît.

Voici, au reste, un énoncé qui comprend évidemment tous les cas : Dans toute équation, complète ou incomplète, le nombre des racines positives est au plus égal au nombre des variations de signe qu'elle présente, et le nombre des racines négatives est au plus égal au nombie des variations de signe que présente la transformée qui résulte de la substitution de — X à la place de x dans Féquation proposée.

31C. Conséquence. — Toutes les fois qu'une équation n'a que des racines réelles et qu'elle est complète, le nombre des racines positives est égal au nombre total des variations, et le nombre des racines négatives au nombre total des permanences.

En effet, soient m le degré de l'équation, n le nombre des variations do signe qu'elle présente, et/j le nombre des permanences; on a nécessairc-

(*) Foir le Journal de Crelle, t. III, p. i, et le Bulletin des Sciences de Férussac, t. IX, p. 353.

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ment m = n -^ p. Soient d'ailleurs // le nombre des racines positives et // le nombre des racines négatives ; on a encore

m = n' -f- p', d'où l'on déduit n -\- p — n' -\- p'.

Or on vient de voir que n' ne peut être > «, et que p' ne peut pas être > /?; donc il faut que l'on ait «'= n et p'~ p.

317. Remarque. — Lorsqu'une équation manque de quelques termes, on peut souvent, au moyen de la règle précédente, reconnaître la présence de racines imaginaires.

Soit, par exemple, l'équation

x^ H- px -t- «7 = o,

p ei q étant essentiellement positifs. Rétablissons le terme qui manque, en l'affectant du coefficient zt o ; il vient

x^±i o.x^ -{- px -+- (y = o.

En n'ayant égard qu'au signe supérieur, on ne voit que des permanences, tandis que le signe inférieur donne deux variations. Cela prouve que l'équation a des racines imaginaires; car, si ses racines étaient toutes trois réelles, il faudrait, en vertu du signe supérieur, qu'elles fussent toutes trois négatives, et, en vertu du signe inférieur, qu'il y en eût deux positives et une négative, résultats contradictoires.

On ne peut rien conclure si l'équation est de la forme

x^ — px H- <y = o;

car, opérant comme au n° 315, rétablissons le terme ±lo.x'^ , il vient

x^-±zo.x^ — px -H (7 = o,

équation qui présente une permanence et deux variations, soit que l'on prenne le signe supérieur, soit que l'on prenne le signe inférieur. Ainsi cette équation peut avoir ses trois racines réelles, savoir, deux positives et une négative ; ou bien elle a deux racines imaginaires et une négative, puisque son dernier terme est positif (31-4).

Passons actuellement à l'exposition des diverses méthodes de résolution des équations numériques.

§ n. — Recherche des racines commexsurables des équations