MÉTHODE DES RACINES COMMEXSURABLES

Observons d'abord que toute équation dont le premier ternie a pour coefficient Vanité, et dont tous les autres coefficients sont des nombres entiers, ne peut avoir pour racines conimensurables que des nombres entiers.

En effet, soit l'équation

x^ -t- Par"'-' -H Qo,-"-^ -+- . . . -H T.r -r- U = G,

dans laquelle P, Q, ..., T, U sont des nombres entiers, et supposons qu'elle puisse avoir pour racine un nombre fractionnaire commensurable,

tel que j-, nous obtiendrons, par la substitution,

d'où, multipliant toute l'équation par t"'-', et transposant,

— = — Pa"--' — Qrt'"-'^'-...— Tab"'-""- \]b'"-'.

Or le second membre de cette égalité se compose d'une suite de nombres entiers, tandis que le premier membre est essentiellement fractionnaire ; car, a et b pouvant toujours être supposés premiers entre eux, il en est de même [Arithm., n° 130) de «""et h\ donc cette égalité ne saurait exister. Donc il est impossible qu'aucun nombre fractionnaire commensurable satisfasse à l'équation.

Cela posé, on a vu (265) comment, étant donnée une équation dont les coefficients sont rationnels, mais fractionnaires, on peut la transformer en une autre dont les coeflBcients soient entiers, son premier terme conservant d'ailleurs l'unité pour coefficient. Ainsi, dès que l'on aura établi une méthode pour trouver les racines entières d'une équation à coefficients entiers, le premier' terme ayant cV ailleurs V unité pour coefficient, il sera ensuite facile d'obtenir les racines commensurables (entières ou fractionnaires) de toute équation à coeCBcients quelconques, mais rationnels.