A cet effet, reprenons l'équation générale

.r" + P j^-' -4- . . . -H Ro;' -H Sa7= -+- T.r H- U = G ,

P, Q, . . ., E, S, T, U étant des nombres entiers. (Pour l'exposition de la méthode, il faut nécessairement écrire les quatre ou cinq derniers termes.) Désignons par a un nombre entier, positif ou négatif, qui doit vérifier l'équation, et cherchons à quelles conditions il doit satisfaire pour en être racine.

438 CnAIiTRF. YIII.

Si Cl est racine, on doit avoir lé^'alilé

(i) fi'"-\- Prt'""' -i-, . .-t- Rrt'-H Srti'-i- T<7 -H U = o;

donc, si l'on remplaçait a par tous les nombres entiers positifs cl n:'gatif3 compris entre les limites h- L et — L' (310) des racines positives et négatives, ceux qui vérifieraient l'égalité ci-dessus seraient reconnus racines; mais on conçoit combien ces essais seraient longs et pénibles. On a donc cherché à déduire de l'égalité (i), qui est une condition nécessaire et suffisante, d'autres conditions plus simples à vérifier.

Transposons tous les termes, excepté le dernier, et divisons par a\ l'égalité (i) se trouvera mise sous la forme

(2) H= «'»-'p^,'"-5...R^î Sfl-T.

Or le second membre de cette nouvelle égalité est un nombre entier ; donc

il faut que - soit un nombre entier. Ainsi déjà les rccines entières de

V équation sont comprises parmi les dnnseurs du dernier terme, pris tant avec le signe -t- qu'ai'ec le sif^ne — .

Transposons actuellement, dans l'égalité (2), le terme — T, et divisons par a, en posant, pour plus de simplicité,

il vient

Le second membre de l'égalité (3) est un nombre entier; donc il faut

que — 5 ou le quotient de la division de — i- T par a^ soit un nombre entier.

Transposons de nouveau le terme — S, et divisons par a, en posant

il vient

(4) -:=-«"■-*- Pa"-^ — ...-R.

Le second membre de cette égalité est un nombre entier ; donc il faut

S' T' que —1 ou le quotient de la division de 1- S par a, soit un nombre

entier.