MÉTHODE DES RACINES C0M3IEXSURABLES

En continuant ainsi de transposer dans le premier membre tous les termes du second, on parviendra, après la [m — i)'^"" transformation, à une égalité de la forme

û Transposant enfin le terme — P, divisant par a, et posant

a on trouve

— = — I ou hl — G.

Cette égalité, qui n'est d'ailleurs qu'une transformée de l'égalité (i), est la dernière condition à laquelle il faut et il suffit que le nombre entier a satisfasse pour être reconnu racine.

En rapprochant les conditions précédentes, on peut conclure que, pour qu'un nombre entier «, positif ou négatif, soit racine de l'équation proposée, il faut :

Que le quotient du dernier ternie divisé par a soit entier;

Que, si l'on ajoute à ce quotient le coefficient de x^ (pris avec son signe), le quotient de cette somme divisé par a sait entier ;

Que, SI l'on ajoute à ce nouveau quotient le coefficient de x^, le quotient de celte nouvelle somme divisée par a soit entier; et ainsi de suite;

Qu'enfin, si l'on ajoute le coefficient du second terme de l'équation, ou de x"~\ au quotient précédent, le quotient de la nouvelle somme divisée par a soit entier et égal à — i ; ou bien encore que le résultat de l'addition de Vunité ou du coefficient de af au quotient précédent soit égal à zéro.

Tout nombre qui satisfera à ces épreuves réunies sera racine, et ceux qui manqueiont à quelqu'une d'elles devront être rejetés.

320. Afin de déterminer à la fois toutes les racines entières d'une équation, voici la marche qu'il convient de suivre :

Après avoir déterminé tous les diviseurs du dernier terme Arithm., n°144), on écrit sur une même ligne horizontale, et tant avec le signe ■+qu'avec le signe — , les diviseurs compris entre les limites -i-L et — L', puis, au-dessous de ces diviseurs, les quotients du dernier terme divisé par chacun d'eux.

On ajoute ensuite à chacun des quotients le coefficient de x' , ce qui donne des sommes que l'on place au-dessous des quotients qui leur correspondent; puis on divise ces nouvelles sommes par chacun des diviseurs,

44° CIIAPITRE VIII.

ce qui donne des (/uolicnts que Von écrit aii-dcssnus des snmnies avrcspnndantcs (on a le soin de rejeter les quotients fractionnaires et les diviseurs qui ont donné ces quotients); et ainsi de suite.

Observons en outre que, si quelques termes manquent dans l'équation particulière proposée, il faut en tenir compte, en regardant chacun de leurs coefficients comme égal à zéro.

Enfin il est inutile d'appliquer la méthode aux diviseurs n- i et — i, parce que leur substitution dans l'équation réduit le premier membre à la série des coefficients; et il est facile de s'assurer directement si ces deux nombres satisfont ou ne satisfont pas à l'équation.

Soit, pour premier exemple, l'équation

;r* — x^— i3x--i- iGjt — 48 = 0.

La limite supérieure des racines positives de cette équation est i3 -:- i ou 14. [On ne considère pas ici le coefficient 48, parce que, les deux derniers termes revenant à 16 (jf — 3), dès que Ton fait a: > 3, cette partie est essentiellement positive.]

On trouverait d'ailleurs (310), pour la limite supérieure des racines négatives, — (i -t- \/48), ou — 8.

Cela posé, les diviseurs de 48 moindres que i4 sont i, 2, 3, 4, 6, 8, 12; d'ailleurs aucun des deux nombres -h i, — 1 ne satisfait à l'équation, car le coefficient — 48 est à lui seul numériquement plus grand que tous les autres réunis. Ainsi l'on ne doit soumettre aux épreuves que les divïseui-s positifs compris depuis 1 jusqu'à 12, et les diciseiirs négatifs compris depuis — 2 jusqu'à — 6.

Voici le tableau des calculs, d'après la marche indiquée :

— iG,