MÉTHODE CES RACINES COMMENSURABLES

tients de ces sommes divisées par chacun des diviseurs : cette deuxième condition exclut d'abord les diviseurs -+-8, -i- 6 et — 3.

La cinquième est la ligne des quotients précédents augmentés du coef ficienl — i3 de la proposée; et la sixième celle des quotients des nouvelles sommes par chacun des diviseurs : cette troisième condition exclut les nouveaux diviseurs 3, 2, — a et — 6.

Enfin la septième est la ligne des troisièmes quotients augmentés du coefficient — i de la proposée; et la huitième celle des quotients des dernières sommes par chacun des diviseurs. Il n'y a que les diviseurs -1- 4 et — 4 qui donnent — i ; donc + 4 et — 4 sont les seules racines entières de la proposée.

En effet, si l'on divise .r^ — .r'— i3a:^-i- i6jr — 48 par le produit {x — ^){x -h 4), ou x"^ — 16, il vient pour quotient a:-— x -+- 3, polynôme qui, égalé à zéro, donne

Ainsi les quatre racines sont 4-, — 4» et - ± - \/— 1 1.

321. Remarque. — Comme, dans les applications de la méthode, on peut commettre quelques erreurs d'addition ou de division, et laisser ainsi échapper quelques racines, il est convenable, après avoir divisé le premier membre de la proposée par chacun des facteurs du premier degré, correspondant aux racines déjà obtenues, il est convenable, dis-je, à' appliquer de nouveau la méthode à l'équation résultante, qui est d'un degré plus simple, et dont les coefficients sont aussi généralement plus simples que ceux de la proposée.

Il y a même une circonstance oià cette équation résultante peut encore admettre des racines commensurables, sans que l'on ait commis aucune erreur ; c'est lorsque la proposée renferme des racines égales commensurables. Comme la méthode des racines égales est plus compliquée que celle des racines commensurables, il faut toujours, une équation numérique étant donnée, commencer par la soumettre à la méthode des racines commensurables. Or celle-ci sufBt bien pour obtenir les racines différentes, mais elle n'indique pas si une même racine n'entre qu'une fois ou se trouve plusieurs fois dans la proposée. On peut s'en assurer de deux manières : ou bien en soumettant de nouveau à la méthode l'équation qui résulte de la suppression des racines déjà mises en évidence ; ou bien en essayant la division du premier membre de cette équation par les facteurs du prem.ier degré qui correspondent aux racines trouvées.

4^7. cnAiMTRE vm.

Soit, par exemple, l'équation

La limite supérieure des racines positives de cette équation est i3, d'après la décomposition (308); d'ailleurs elle n'apas de racines négatives, puisque l'équation ne présente que des variations de signe (311 ).

Les diviseurs de 108, au-dessous de i3, sont

D'ailleurs -+- 1 ne satisfait pas à l'équation, car on trouve — 8 pour résultat de la substitution de -t-i; ainsi 2, 3, 4, 6, 9, 12 sont les seuls nombres à soumettre aux épreuves.

On reconnaît, par l'application de la méthode, que 3 et 2 sont racines de la proposée.

Effectuant la division du premier membre de cette équation par

{x — 3) [x — 2), ou x^ — 5a; -j- 6,

on trouve pour quotient

qui, soumise elle-même à la méthode, se trouve avoir encore -t- 3 et -f 2 pour racines.

Divisant cette dernière équation par j;^— 5a: h- 6, on obtient

j: — 3 = 0, d'où a; = 3;

ainsi la proposée peut se mettre sous la forme

N. B. — Nous ajouterons que si, après avoir reconnu qu'un nombre entier <?, positif ou négatif, satisfait à l'équation, et après avoir divisé le dernier terme U par «, on obtient un quotient qui ne soit plus divisible par a, c'est que cette racine n'entre qu'une fois dans l'équation proposée.

322. Rè}^le d'exclusion. — Lorsque le nombre des diviseurs du dernier terme, qui se trouvent compris entre les deux limites -f- L et — L', est très-grand, on peut restreindre le nombre des essais par une règle d'un usage facile.

Soit l'équation

X'" -\- P.r"'-' + Qjr"'-* -4- . . . -4- Tx -H U ^ G, dans laquelle nous supposons toujours que les coefficients soient entiers.

JIÉTHODE DES RACIXES COJIMEXSU RABLES. 44^

On sait que, a étant racine de cette équation, son premier membre est divisible par x — a\ ainsi l'on a l'identité

oT -^ Po^-' ^ . . . ^- Ta- -^ U = [x~a) (.r— — Ysd"-^^. ..^Vx^ U'),

P', Q', . . . , T', U' étant, d'après la loi de formation du n° 238, des nombres entiers aussi bien que <?. P, Q, . . . , T, U. Cela posé, comme l'équation précédente doit se vérifier, quel que soit x, faisons .r = i ; il vient

I ^ P -^ Q ^. . .-^ T -^ U = (i - «) (I -^ PV . . .-h T'-r- U'),

doù

Le second membre de celte égalité est un nombre entier ; donc il doit en être de même du premier membre : ainsi a, étant un nombre entier positif ou négatif, ne peut être racine qu'autant que (i— a) ou plutôt {n — i) divise te résultat de la substitution de -\- i dans la proposée.

On prouverait de même, en faisant x = — i, que — [i-h a) ou [a -+- 1) doit diviser le résultat de la substitution de — \ \ d'où la règle suivante :

Substituez successivement h- i et — i dans la proposée^ et désignez par M et M' les valeurs numériques des résultats de cette double substitution.

(Si l'un des résultats était zéro, auquel cas + 1 ou — i serait racine, il faudrait commencer par supprimer cette racine dans la proposée avant d'appliquer la règle.)

1° Tout diviseur positif du dernier ternie, qui, diminué de i, ne divise pas M, et cjui, augmenté de i , ne divise pas M', doit être rejeté.

1° Tout diviseur négatif dont la iwleur nuniéricjue, augmentée de i, ne divise pas M, et diminuée de i ne divise pas M', doit être rejeté.

A6n de mettre plus facilement en évidence ces deux caractères d'exclusion, il convient de décomposer d'abord les deux résultats M et M' dans leurs diviseurs [Aritlan., n° 144';.

Soit, pour exemple, proposé de déterminer les racines commensurables de l'équation

x'' — bx^ — 37 j-'-f- ib-j X — 36o = 0.

La limite supérieure des racines positives de cette équation est 87 h- r ou 38, parce que ib-x — 36o revient à 257 ( x — ^-y^ j : la limite supérieure des négatives est — (i -r- v/36o) ou — 20. Les diviseurs de 36o, que Ton doit soumettre aux épreuves de la méthode du n° 320, sont

444 CnAPITRE VIII.

donc

I, 2, 3, 4) 5, 6, 8,, 9, lo, 12, i5, i8, 20, 24, 3o, 36, et

le résultat de la substitution de -+- 1 dans la proposée est, en faisant abstraction du signe, i44 ou 2^3'; le résultat de la substitution de — 1 est 648 ou 2^3^

Cela posé, passons d'abord en revue les diviseurs positifs, à partir de 36, qui est le plus grand.

36 — I, ou 35 = 7 X 5, ne divise pas i44, «-"pii est égal à 2*. 3^; ainsi 36 doit être rejeté.

On rejettera, par la même raison, 3o, 24, 20, 18, i5, 12.

10 — I, ou 9, divise 144 ; mais 10 -t- i, ou 11, ne divise pas 648, qui est égal à 2'. 3*; ainsi 10 doit être rejeté.

On reconnaîtra encore que 9, 8, 6, 4 doivent être rejetés; c'est-à-dire que les seuls diviseurs positifs qui satisfont à la règle sont 5, 3 et 2.

Quant aux diviseurs négatifs, 18 h- i, ou 19, ne divise pas i44 ; ainsi

— 18 doit être rejeté.

i5 H- I, ou 16, divise i44; i^ais i5 — i, ou i4, ne divise pas 648; donc

— i5 doit être rejeté.

On verrait pareillement que — 12, — 10, — 9, — 8, — 6, — 4 doivent être rejetés. Ainsi l'on ne doit soumettre aux épreuves de la méthode du n" 320 que les diviseurs — 5, — 3 et — 2. En appliquant la méthode aux diviseurs

on reconnaîtra que 5 est le seul qui remplisse toutes les conditions, et qui soit, par conséquent, racine de la proposée. Effectuons la division par x — 5 ; il vient pour résultat

équation qui ne saurait avoir de nouveau 5 pour racine, puisque 5 ne divise pas 72. Ainsi cette équation n'a plus que des racines incommensurables et des racines imaginaires.