MÉTHODE DES RACINES COMMENSLRABLES

1° i5.r' — ig^'-T- 6.^'-4- i5.r- — ig.c -r- 6 = o,

(3jr — i) [5x — 3) (a: -i- i) [x"^ — jr -i- i) = o;

3° ^•^^-^- 3ox^-t- iïx^-i- lox'-i- i~x- — 20J- -i- 4 = o,

Pour résoudre les deux dernières équations, il faut d'abord faire disparaître le coefficient du premier terme, d'après la règle du n" 203; appliquer ensuite la méthode du n" 320 aux deux transformées; et, après avoir obtenu les racines entières de ces transformées, substituer dans l'équation

X ='- , qui a servi à la transformation, les valeurs des racines obtenues.

32 i. Ce qui précède suffit pour la détermination des racines commen- .surables de toute équation numérique dont les coefficients soni rationnels , entiers on fractionnaires. Cependant nous observerons qu'il y a des questions dont les énoncés conduisent à des équations de degré supérieur, et qui, par leur nature, n'admettent que des nombres entiers pour solutions; c'est-à-dire que toute solution fractionnaire commensurable ou incommensurable doit être regardée comme tout à fait étrangère à la question.

Soit, par exemple, proposé de déterminer la base du système de numération dans lequel le nombre 4i47 (système décimal) serait représenté par l'ensemble des chiffres 82042 (système cherché).

Soit X la base inconnue; les termes 2, 4-^, o.j:-, 2^, Zx* exprimeront les valeurs relatives des chiffres 2, 4, o, 2, 3 du nombre 32042. Ainsi Ton a l'équation

Zx^-r- 2jr'-i- o.jc'-i- 4vr -i- 2 = 2147, ou bien

à résoudre en nombres entiers et positifs; car .r doit être, par sa nature, un nombre entier absolu.

Or, pour peu qu'on réfléchisse sur la méthode exposée n° 320 pour trouver les racines entières d'une équation dont le coefficient du premier terme est l'unité, on verra qu'elle est également applicable au cas où le coefficient du premier terme est un nombre entier quelconque ; ta seule différence, si l'équation est, par exemple, de la forme

Aj:"-h-Pjc"'-'-+-Qx'"-=-i-...-i-S.r=-f-TxH-U = o,

consiste en ce que, cpiand on est parvenu à la dernière des conditions que comporte la méthode, le résultat, au lieu d'être égal à — 1, doit être égal

On peut d'ailleurs démontrer directement la méthode en reprenant sur l'équation précédente les transformations et les raisonnements qui ont été faits au n° 319.

Ainsi, pour trouver les racines cntnmetnurnhles entières d'une équation dont le premier terme a un coetTicicnt différent de l'unité, il est inutile d'avoir recours à la disparition de ce coellicient, transformation qui (26o) a l'inconvénient de conduire à une équation dont les coefficients sont, en général, très -grands.

D'après cela, recherchons les racines entières de l'équation

3 x' -t- 2 x^ -t- 4 ■^ — 2145 = o. La limite supérieure des racines positives est (307) '2)45

Le nombre 2145 est décomposable {Arithm., n° 14i) en 3 x 5 x 11 x i3 ; ainsi il n'y a lieu à essayer que les nombres 3 et 5 :

Le seul nombre 5 donne, pour dernier résultat, — 3, ou le coefficient du premier terme, pris en signe contraire ; donc cinq est la base du système cherché.

En effet, 32042, écrit dans le système quinaire, équivaut, dans le système décimal, à

3x5'-i-2x5^-i-ox5'-t-4x5-i-2,

ou, en effectuant,

On peut s'exercer sur les exemples suivants. Déterminer :

1° La base du système de numération dans lequel 732g (système décimal) est représenté par 5563 (système cherché), [x = o//zt'.]