RECHERCHE DES DIVISEURS DU 2^, 3^, ETC. DEGRÉ

2° Ln base du système dans lequel ^i^'j^ (système décimal) est représenté par- 456356 (système cherché) [x = sept^^ (*).

Recherche des diviseurs commensurables du second degré.

32"). Observations préliminaires. — La méthode des racines commensurables, exposée n" 320, est aussi appelée méthode des diviseurs commensurables du premier degré, parce que, connaissant une racine commensurable, entière ou fractionnaire, d'une équation, on peut (238) diviser le premier membre par le facteur du premier degré en .r, correspondant à cette racine; et les coefficients de ce facteur sont nécessairement commensurables eux-mêmes.

Lorsqu''ur.e équation numérique est débarrassée de ses diviseurs commensurables du premier degré , l'équation résultante n'a plus que des racines réelles incommensurables et des racines imaginaires; mais on conçoit que plusieurs des facteurs du premier degré qui correspondent à ces racines, quoique ayant des coefficients incommensurables, peuvent fort bien, par leur combinaison deux à deux, donner naissance à des produits dont les coefficients soient rationnels : c'est ainsi que

Or, si l'on avait quelque moyen de découvrir, dans une équation, les diviseurs commensurables du second degré, en les égalant à zéro, on en déduirait des racines de l'équation proposée, et, de plus, on les obtiendrait sous leur véritable forme.

Nous allons voir comment les principes de l'élimination et la méthode du n" 320 conduisent à ce but.

326. Soit X = o une équation débarrassée de ses diviseurs commensurables du premier degré.

Désignons par x'-^-px-^ij un quelconque des diviseurs du second degré de X; p et q sont deux indéterminées dont il faut tâcher d'obtenir (es valeurs en nombres commensurables, s'il est possible.

Pour cela, divisons X par x'^-h px -i- q , et concevons que Von ait poussé l'opération jusqu'à ce quon soit parvenu à un reste du premier degré en x, de la forme M j: -4- N, M et N étant des indéterminées fonctions de /; et de q. En égalant ce reste à zéro, on étaiblira la condition

( * ) Voir la Note VI à lo fin du Volume.

448 ciuriTUE VIII.

que JT^-f- px -H q devienne diviseur exact de X. D'ailleurs cette division doit être possible indépendamment de loute valeur particulière attribuée à x\ donc, en vertu du principe du n° 180 sur les équations identiques, ^équation Mx -+- N je partagera nécessairement en deux autres

M — G, N ^ o, ou bien F(/?, 7) == o, F'(/j, q) — o.

Cela posé, la question se réduira à trouver (en nombres commensurables) tous les systèmes de valeurs de /> et de 7 propres à vérifier ces deux équations.

On commencera par former, d'après la méthode exposée au n° 269, V équation finale en y;, à laquelle on appliquera la méthode des racines commensurables (320). Après avoir obtenu toutes les valeurs rationnelles de p, on les substituera ( 270 ) daris le reste du premier degré par rapport à 7, lequel reste, égalé ensuite à zéro, donnera les valeurs rationnelles de ry, correspondant aux valeurs de p déjà trouvées. Enfin l'on substituera chacun des systèmes de valeurs de p et de q dans le trinôme x'-h px -i- q] ce qui donnera autant de diviseurs commensurables du second degré.

11 est évident que l'équation finale en p doit être d'un degré marqué

par /// ( |, m étant le degré de l'équation, puisque c'est l'expression du nombre total des diviseurs commensurables ou incommensurables du second degré. D'après cela, on peut juger combien cette méthode, facile en théorie, est compliquée dans la pratique. Aussi l'usage en est-il peu fréquent.

On voit assez ce qu'il faudrait faire pour obtenir les diviseurs commensurables du troisième, quatrième,. . . degré; mais ces dernières questions ne sont d'aucune utilité (*).

§ III. — Recherche des racines réelles incommensurables.

Lorsqu'on a débarrassé une équation de tous les diviseurs du premier degré qui correspondent à ses racines commensurables, l'équation résultante n'admet plus que des racines réelles incommensurables et des racines imaginaires.

La véritable forme des racines réelles incommensurables d'une équation d'un degré quelconque restera inconnue tant qu'on n'aura pas de méthode générale pour résoudre les équations algébriques de degré supérieur. Mais

(*") Dans une des Notes placée à la fin de ce Chapitre, nous nous proposons de (Vue quelques mots sur la décomposition d'un polynôme rationnel et entier quelconque en ses facteurs premiers.

RECHERCHK D::S RACINES INCOMMENSURABLES. 449

si la détermination de leur forme est encore un problème à résoudre, il n'en est pas ainsi de la valeur numérique de chacune de ces racines, et il existe des méthodes pour les obtenir avec tout le degré d'approximation qu'on peut désirer.

Pour plus de simplicité, nous diviserons cette théorie en deux Parties : dans la première, nous supposerons que la proposée soit telle q\\iinc seule racine réelle puisse être comprise entre deux nombres entiers consécutifs; et, (Iaii.1 la seconde, que deux nombres entiers consécutifs puissent comprendre plus d'une racine.

Première Partie. — Cas où une seule racine réelle peut être comprise entre deux nombres entiers consécutifs.

[Nous admettrons encore, dans tout ce qui va suivre, que l'on ait déterminé les limites ^- L et — L', les plus resserrées possible, en employant, s'il y a lieu, la méthode des décompositions (308), ou, si cela est nécessaire, la méthode de Newton (309).]

327. Recherche de la partie entière. — Chacune des racines mcoramensurables étant nécessairement composée à' une partie entière (qui peut quelquefois être zito) et à' une partie plus petite que V unité, le premier objet dont nous avons à nous occuper consiste à déterminer la partie entière de chaque racine.

Pour cela, on substitue à la place de or, dans l'équation, la suite naturelle des nombres o, i, 2, 3,..., et — i, — 2, — 3,..., compris entre -+- L et — L'. Comme, entre deux nombres substitués, qui donnent deux résultats de signes contraires, il tombe au moins une racine (303), il s'ensuit que c/iaque couple de nombres qui donnent des résultats de signes contraires comprend une racine réelle, et n'en comprend qu'une seule, d'après Ihypothèse établie. D'ailleurs la partie entière de la racine est le plus petit des deux nombres qui la comprennent.

Or il peut arriver deux cas : ou l'on obtient, par toutes ces substitutions, autant de c/iangements de signe (ou de couples de résultats de signes contraires) qu'il y a d'unités dans le degré de l'équation, et alors on en conclut que toutes les racines sont réelles; ou bien le nombre des changements de signe est moindre que le degré de l'équation, auquel cas il V a autant de racines réelles que de changements de signe, et les autres racines sont imaginaires.

Dans les deux cas, cette méthode de substitution fait connaître la partie entière de chaque racine réelle, et il reste à déterminer la partie plus petite que l'unité.

Mg. D. 29

45o CHAPITRE VIII.