METHODE D APPROXIMATION DE LAGRANGE

328. Soit X = G une équation dont les racines réelles ont respectivement une partie entière différente, que l'on suppose avoir été déjà déterminée.

Désignons par ^/ et <? -r- i deux nombres entiers qui comprennent l'une d'elles : a exprime alors la partie entière de cette racine, dont il reste à chercher la partie plus petite que l'unité.

Pour cela, dans l'équation

X = G, ou af" -;- Px"'-' ^ . . . H- T j: -:- V = o,

posons X — a -^ -'^ \\ en résulte la transformée

Pour obtenir cette transformée, on commence par remplacer x par fl -f- «, ce qui donne (262)

A désignant ce que devient X quand on y met a pour x et A', A", . . . étant des polynômes dérivés de A, d'après la loi établie n° 262 ; puis on

remet - pour «, et l'on chasse les dénominateurs en y.

Désignons, pour abréger, par Y = o cette transformée, qui est de môme degré que la proposée, et a par conséquent m racines.

Or, puisque la relation x = a -r - doit donner toutes les valeurs de -r

dès que l'on connaît les valeurs de j, et que, par In^othèse, /7 et <? -h i comprennent une valeur de x et n'en comprennent qu'une seule, il faut nécessairement que, parmi les valeurs réelles de/, il y en ait une plus grande que i, et qu^il n'y en ait (jaune seule ; autrement ce serait supposer que « et <7 H- 1 comprennent plus d'une valeur de x.

Si donc, dans l'équation Y = o, on met successivement pour y les nombres entiers i, a, 3,. .., à partir de l'unité, on est certain d'obtenir tôt ou tard un changement de signe; et les deux nombres qui auront produit ce changement de signe comprendront la valeur cherchée de >'.

Soient h et b -+- 1 ces deux nombres; posons, dans Y = o, y = b

il en résulte une transformée Y'= o (que l'on obtiendra par le moyen in-

MÈTHOBE d'approximation DE LAGRANGE. ^^ï

diqué ci-dessus); et cette équation, parmi ses racines réelles, en aura encore une seule plus grande rjue i, que Ton mettra en évidence par la substitution des nombres entiers i, 2, 3,. . . dans Y' = o.

Soient c et c -m les deux nombres entiers qui, ayant dû produire un changement de signe, comprennent la valeur de y'. On posera, dans l'équation Y' = o, y' = c -^ -y,i ce qui donnera la nouvelle transformée

y"= o, ayant une seule racine plus grande que i. Soient d et d -h i les deux nombres qui la comprennent; on posera de

nouveau, dans Y" = o,j-"== r/ — — ,5 et l'on continuera celte suite de

transformations aussi loin que l'on voudra. Rapprochons maintenant les relations

il en résulte

Or on sait que, dans une fraction continue, plus on prend de fractions intégrantes, plus on approche de la valeur du nombre qu'elle représente,

et le degré d'approximation est exprimé {^/-/V/^w., 174) par — j N étant le dénominateur de la dernière réduite.

Ainsi la méthode qui vient d'être exposée donnera la valeur de x avec tel degré d'approximation que l'on voudra.