Appliquons la théorie précédente à l'équation
D'abord les limites supérieures des racines positives et des racines négatives sont, comme il est aisé de le voir, -f- 3 et — 2. Soient mis successivement à la place de x^ dans l'équation, les nombres
on obtiendra les résultats
et comme il y a trois changements de signe, il s'ensuit que l'équation a
452 CHAPITRE YIII.
ses trois racines réelles, savoir : une positive comprisu entre 2 et 3, et deux négatives comprises respectivement entre o et — i , puis entre — i et — a.
Occupons-nous premièrement de la valeur positive.
Posons dans l'équation (i)
il en résulte (328) une équation de la forme dans laquelle on a
d'où, substituant et changeant les signes,
Faisons, dans cette équation, j = i, 2, 3,. . ., il vient, pour
donc la valeur cherchée de j- est comprise entre 2 et 3. Posons dans l'équation (2)
il en résulte la transformée
dans laquelle
B = 5(2)'- 7(2)'6(2)'-i = -i, B' = i5(2)'-' — 14(2)'- 6 = ^ aG,
MÉTHODE d'approximation DE LAGRANGE. 4^3
d'où, substituant et changeant los signes (3) j"- 26r''-23j"-5 = o.
Comme cette équation revient à
il est visible que toute valeur plus petite que 26, substituée pour^', don nerait un résultat négatif.
Mais si l'on pose
j' — 7.6, il en résulte — Go3, et
j'—ïy, il en résulte -t-io3;
donc j' est compris entre 26 et 27.
Posant dans l'équation { 3 )
on obtient la nouvelle transformée
dans laquelle
d'où, substituant et changeant les signes
équation qui revient à celle-ci :
Comme
j"= I donne pour résultat — io3, et que
j" = 2 donne pour résultat -t- 2107,
il s'ensuit que j" est compris entre i et 2.
CnAIMTRE VIII.
En posant de nouveau
on obtiendrait, toul calcul fait, pour la transformée
(5) lo'ij""— 45i j'"'- 1 156/"' - 6o3 ----= o,
ou bien
j'"=(to3j"' - 45i > - ii56r"'- 6o3 = o.
Or il est facile de reconnaître que la valeur de j'" est comprise entre 6 et 7; en sorte que, si l'on voulait continuer l'opération, il faudrait poser
Mais arrêtons-nous aux résultats déjà obtenus.
Les valeurs de jt, j>-, y' . y", y'" donnent lieu à la fraction continue
et, les réduites consécutives étant
il s'ensuit que la dernière exprime la valeur de ^ à moins d'une fraction
près, marquée par ^ ou ^—.
En réduisant \^ en décimales, et poussant l'opération jusqu'aux
looooo'""" inclusivement, on trouve 2,49086, résultat qui est censé exprimer la valeur de x, à moins de 0,00001 près. Cependant, comme cette valeur est trop faible pour deux raisons :
1° parce que la réduite |^ est de rang impair; 2° parce que 2, 49086 est
une fraction moindre que cette ré.luite, il serait possible que le dernier chiffre, 6, dût être augmenté d'une unité.
Mais si l'on substitue sr.ccossivemont 2,49086 et 2,49087 dans la pro-» posée, on trouve deux résultats de signes contraires. Ainsi 2,49086 représente en moins, à o,ooooi près, la racine positive de l'équation proposée.
MÉTHODE d'approximation DE LAGRANGE. ^55
Quant aux deux racines négatives, observons que, si l'on change a: en ~x dans l'équation (i), elle devient
et les racines positives de la nouvelle équation, prises avec le signe —, donnent k-s racines négatives de la proposée. Ainsi la question est ramenée à la recherche des racines positives de la transformée qu'on vient d'obtenir.
Or, en répétant sur cette transformée des calculs analogues aux précédents, on trouve :
1° Pour la racine comprise entre o et i . . o, 65662;
2° Pour la racine comprise entre i et 2 i ,83424.
Donc, enfin, les trois racines de l'équaticn x^ — 5a; — ^ -- o sont 0^ = 2,49086, X" — o, 65662, x~ — 1,83424.
(On reconnaît, en effet, que la somme algébrique des trois racines est nulle; ce qui doit être, puisque le coefficient du second terme manque dans l'équation.)
330. Remarque. — En réfléchissant sur la méthode précédente, on voit qu'elle suppose essentiellement qu'entre les deux nombres entiers a et « -f- I , il ne tombe qyx'une seule racine de la proposée, puisque, sans cette condition, on ne pourrait affirmer que chacune des transformées a une seule racine plus grande que l'unité, et que, par conséquent, la substitution des nombres 1 , 2, 3,. . . à la place des j, r\x\ dans ces transformées, doit produire tôt ou tard un changement de signe.
Cependant, lorsque l'on connaît d'avance le nombre des racines comprises entre « et « -1- i, il est possible que la méthode réussisse. [P'oir le troisième exemple du n° 333.)
Supposons, pour fixer les idées, que a et a -1- i comprennent deux racines et n'en comprennent que chux. En substituant a -\ pour x^ on
obtiendra une transformée qui aura deux racines plus grandes que l'unité, et n'en aura que deux. Or, quand on mettra pour/ la suite des PiOmbres i, 2, 3,. . . , il pourra se présenter deux circonstances :
Ou bien on n'obtiendra aucun changement de signe, et dans ce cas on ne pourra rien conclure, c'est-à-dire que la méthode sera alors en défaut, en ce sens qu'il faudra de nouvelles transformations pour opérer la séparation complète des racines ;
456 CHAPITRE vm.
Ou bien cette substitution produira deux changements de sicne; admettons, pour le moment, que les nombres n et « -+- 1, p et /j-h i produisent respectivement ces changements de signe.
On posera d'abord dans la transformée
ce qui donnera une nouvelle transformée ayant une seule racine plus grande que l'unité, et sur laquelle ou pourra opérer comme précédemment; alors une première valeur de x sera exprimée par une fraction continue de la forme
Posant ensuite, dans la même transformée en j,
on obtiendra une nouvelle transformée ayant uiie seule racine plus grande que l'unité, et sur laquelle on opérera encore comme précédemment; la seconde valeur de x se présentera donc sous la forme d'une nouvelle fraction continue
ayant la même partie entière que la précédente, mais dont les fractions intégrantes seront différentes.
Il serait aisé d'étendre ces raisonnemc^nts au cas où l'on saurait d'avance
que a et « — i comprennent trois racines réelles Mais ce que nous
venons de dire suCQt pour prouver qu'il n'y a d'avantage bien réel dans l'emploi de la méthode de Lagrange qu'autant que a et a -^\ ne comprennent qu'une seule racine. Cependant nous exposerons plus loin (35i) un moyen général d'opérer la séparation des racines dans la pratique de cette méthoi.e.
conversion des nombres irrationnels, etc. 4^7
Conversion en fraction continue d'un nombre irrationnel quelconque.
331 . La méthode d'approximation par les fractions continues peut servir à évaluer les racines de degré quelconque des nombres.
Soit P un nombre absolu dont il faut extraire la racine /«"""*. Si l'on pose '^P = x, il en résulte
Comme j: = oet.r = PH-i (300), substitués à la place de x dans cette équation, donnent deux résultats de signes contraires, il s'ensuit qu'elle a au moins une racine réeile positive. D'ailleurs elle ne présente qu'«/?e variation de signe; donc, d'après la règle des signes de Descartes (315), elle a une seule racine réelle positive, que l'on peut obtenir approximativement par la méthode de Lagrange ; et l'on aura ainsi '^P sous la forme de fraction continue.
Soii, par exemple, \J ii à évaluer en fraction continue.
Il suffit d'appliquer la méthode du n° 328 à l'équation
On trouvera successivement les relations et, par suite, les réduites
I 4 9 58 dont la dernière, convertie en décimales, donne 2,224 à 0,001 près, puisque Ion a évidemment ■ ^ < 0,001 (cette valeur est un peu trop forte).
332. Nous indiquerons à cette occasion le moyen de développer toute espèce de nombre (absolu) en fraction continue. Ce moyen suppose seulement qu'on sache extraire d'un nombre donné la partie entière qui s'y trouve contenue.
Soient A le nombre proposé, a sa partie entière (qu'on est censé savoir trouver).
On a d'abord l'égalité
(B étant > i); d'où l'on déduit
Soit b la partie entière de B ou de obtenue par un moven quol-
conque ; on a la nouvelle égalité
IG étant > 0; d'où
i..B-^ C=.^. ou C==c-.i:
i=.C-., D=.^, ou D^./-.^;
et ainsi de suite.
Rapprochant actuellement les relations
on obtient finalement A sous la forme d'une fraction contin'.;e
ZV. B. — Le procédé établi en Arithmétique (164; n'est qu'un cas particulier de cette méthode aénérale.
Soit à développer — ^ en fraction continue.
On a d'abord, en effectuant la division,
ou
ce qui donne
donc
donc enfin
d'où résulte la fraction conïinue demandée.
CONVEBSION DES NOMBÎÎES IRRATIONNELS, ETC. 4^9
333. Lorsqu'on veut évaluer les radicaux du second degré par la méthode précédente, il faut faire usage des transformations exposées (91 ). Soit, par exemple, à évaluer v^G en fraction continue. Il est d'abord évident que \/(i est compris entre 2 et 3. Ainsi l'on a
v/6 ou A = 2 -:- — ;
d"où
Pour obtenir la partie entière contenue dans B, multiplions (91) les deux termes de son expression par \/6 -.- o.; il vient
Mais le numérateur de celle-ci est évidemment compris entre 4 et 5 ; donc B est lui-même compris entre 2 et 3. Ainsi il faut poser
d'où
ou B = 2 -+-p:j5
Comme cette dernière expression est évidemment comprise entre 4 et 5, on pose
d'où
^-;- 2 ou C = 4 -^ r:5
Sans aller plus loin, observons que cette expression est identique avec celle de B; donc, puisque l'on a trouvé
on obtiendra de même
D = 2^-^, E-=4-f-p7 et ainsi de suite.
46o CHAPITRE VllI.
Donc enÛQ
A partir de la troisième fraction intégrante, les dénominateurs se répètent périt.dit/iiement de deux en deux.
On trouverait, par le même procédé,
Tous les nombres irrationnels du .second degré jouissent de cette propriété curieuse, de donner naissance à àes fractions continues périodiques ; mais, pour cet objet, nous renverrons, soit à la Théorie des nombres de Legendre, soit au tome 1" des Nomu lies Annales de Mathématiques, où M. Gérono en a donné une démon?tration élémentaire.
La réciproque est vraie aussi, c'est-à-dire que toute fraction continue périodique appartient à un nombre irrationnel du second degré. Quant à cette seconde proposition, qui se démontre d'ailleurs fort simplement, elle n'cït pas assez importante pour nous engager à prolonger davantage cette digression.
MÉTHODE d'aPPROXIMA-^IO.N DE NEWTON.
33 i. La méthode suivante, due à Newton, a l'avantage de fournir, en général, des approximations plus rapides que celle de Lagrange. Pour en donner une première idée, reprenons l'équation
j:' — ôo: — 3 = o,
et proposons-nous de déterminer la racine comprise entre a et 3.
Afin de resserrer davantage les limites de cette racine, posons, dans l'équation,
nous aurons pour résultat
MÉTHODE d'approximation DE NEWTON. ^6l
d'ailleurs 2, mis à la place de x, donne
Ainsi la racine est comprise entre 2 et 2,5.
Actuellement, si l'on fait attention que le résultat de la substitution de 2,5 diffère beaucoup moins de zéro que celui de la substitution de 2, on doit présumer que la racine est plus près de 2,5 que de 2.
On pose, en conséquence, dans l'équation,
ce = 2,4; et il vient pour résultat
Or 2,5 avait déjà donné pour résultat
donc la racine est comprise entre 2,4 et 2,5.
En continuant ainsi de substituer des moyens termes, on parviendrait à resserrer de plus en plus les deux limites de la racine; mais lorsqu'une ibis on a obtenu, comme dans ce cas, la valeur de .r à moins de 0,1 près, on peut en approcher davantage par un autre moyen; et c'esi en cela que consiste principalement la méthode de Newton.
Faisons, dans l'équation a;'— 5jr — 3 = o, v
X = 2,4+ « ; nous obtenons (2G2) là transformée
X' -f- y '/^ -t- — 11^ -i- it =
dans laquelle
L'équation en «, étant du troisième degré, ne peut être immédiatement résolue ; mais en transposant tous les termes, à l'exception du terme Y'w, et divisant les deux membres par Y', on peut la mettre sous la forme
" = -F-rT'"-Y'"'
Cela posé, puisque l'une des trois racines de cette équation doit ôlre
462 CnAPlTRE VIII.
moindre que o, i d'après la relation x = 2,4 -<- «, les valeurs correspondantes de ur et de «' sont moindres que o,oi et 0,001. D'ailleurs l'in-
spection des valeurs de Y' et de Z' prouve que — y, est < i . Ainsi la va-
X' leur de u, ne diffc^rant numériquement de — :r^ que par la quantité
— ^,a--i- r-, lâ, qui, le plus souvent, est au-dessous de 0,01, cette valeur
de K, dis-je, est exprimée par — y^? à 0,01 près.
Comme, dans cet exemple,
il en résulte
u = 0,0g, à 0,01 près;
et, par conséquent,
j: = 2,4 — 0,09 -- 2,49> à 0,01 près.
En effet 2,49, substitué dans le premier membre de la proposée, donne pour résultat — 0,011751, tandis que 2,5o avait donné -+- o,oi25. - Pour obtenir une nouvelle approximation , faisons dans la proposée X — 2,49 -- u': nous avons l'équation
dans laquelle
-- 3(2,49)^—5 = i3,6oo3,
Mais l'équation en u' peut s'écrire ainsi :
et puisque l'une des valeurs de u' doit être moindre que 0,01, les valeurs
correspondantes de u'^, u'^ sont moindres que 0,0001 et que i ,000001 ;
donc — ^ peut représenter la valeur de u a 0,0001 près.
Conuiic on a
Y" i3,6oo3 1 3600000
MÉTHODE d'approximation DE NEWTON. 46^
il s'ensuit que id est égal à 0,0008, à 0,0001 près; ainsi
X = 2,49 "^ 0,0008 — 2,4908, à 0,0001 près.
Il serait, en effet, facile de reconnaître que 2,4908 et 2,4909, substituées dans la proposée, donnent deux résultats de signes contraires.
En posant de nouveau x = 2,4908 — «", on obtiendrait une valeur approchée de x à 0,00000001 près.
I, Ordinairement chaque opération nouvelle donne pour la racine un nombre de chiffres décimaux double de celui de l'opération précédente; cela résulte évidemment des raisonnements ci-dessus.)
