Voici en quoi consiste la méthode générale

Soient /? et /? h- i deux nombres qui comprennent l'une des racines de l'équation X — o.

On commence par déterminer la voleur de cette racine « o , i près, en substituant une suite de nombres compris entre p et p -r- i, et continuant jusqu'à ce que deux de ces moyens termes ne diffèrent entre eux que de o , T .

Cela posé, appelant x' la valeur de x obtenue «0,1 prés, on pose, dans l'équation X = o,

ce qui donne la transformée

X' -:- Y' u ~ — a- -i «'-!-... -t- if"" = o,

qu'on peut écrire ainsi :

Comme, dans le second membre de cette équation, l'ensemble des termes

qui suivent — ^r est ordinairement au-dessous de 0,01, on les- néglige,

X' en calculant — :^ à 0,01 près, et l'on ajoute le résultat <z x'; ce qui

donne une nouvelle valeur x"^ approchée de x à 0,01 près.

Pour obtenir une troisième approximation, on pose, dans l'équation X = o,

464 CUAPITHE VIII.

ce qui donne la transformée

d'où

, -^ ^ n ' lin

A'c"/i^ca//t tous les termes ttt,»"— . . .— Trr,u'"' (dont l'ensemble est

supposé moindre que o,oooi), on calcule — :^ en poussant ropéinton

jusqu'aux i oo;,>o''"'", et l'on ajoute le résultat à x" \ ce qui donne une troisième valeur x'" approchée à 0,000 1 près.

Pour a\oir une nouvelle approximation, on rcmjdacc x par x'" -<- u'" dans la proposée.

■vm

On calcule r expression — -^, qui résulte de cette transformation, et

Von pousse Vopération juscpiau huitième chiffre décimal inclusi\'ement, puis on ajoute ce résultat à x'" ; et ainsi de suite.

On répète cette série d'opérations pour chacune des racines positives. Quant aux racines négatives, on ramène (329) leur recherche à celle des racines positives, en changeant j: en — x dans la proposée.

33G. Première remarque. — La méthode précédente est fondée sur co aue, dans la transformée

qui revient à

on peut négliger tous les termes afTcctés de «% «', «', . . . , sans erreur sensible sur les loo'*'"'" à la première opération, sur les loooo'""" à la seconde, etc.; hypothèse qui s'appuie elle-même sur ce que, d'après la nature des polynômes dérivés Y', Z', V, . . . , les coefficients

sont ordinairement des fractions; mais cette m;Hhode est quelquefois en défaut, ainsi que Lagrange le prouve dans son Traité de la résolution des équations numériques (*).

(*) C'est surtout peur les racines comprises entre 0 et 1, ou entie o et — ;,

MÉTHODE D'APPR0XIMAT10?i DE XEWTOX. 4^5

On a toutefois un moyen de s'assurer, à la fin de chaque opération, si la méthode a donné le degré d'approximation que l'on croyait devoir obtenir.

Par exemple, pour reconnaître si 2,4908 exprime la racine positive de .r*— Sx — 3 =oâ 0,0001 près, on substitue, dans cette équation, 2,4908, puis 2,4909 ou 2,4907, suivant que le résultat de la substitution de 2,4908 est de signe contraire au résultat de la substitution de 3 ou à celui de la substitution de 2 ; et si les deux nombres 2,4908 et 2, 4909, ou bien 2,4908 et 2,4907, donnent deux résultats de signes contraires, nul doute que 2,4908 ne soit une valeur exacte à 0,0001 près, soit e/i moins, soit tv? plus. S'il n'en est pas ainsi, on augmente ou l'on diminue le dernier chiffre d'une ou de plusieurs unités (de l'ordre des dix millièmes], jusqu'à ce que l'on obtienne deux nombres qui, par leur substitution, donnent deux résultats de signes contraires.

337. Seconde remarque. — Il y a aussi des cas où, dès la première

opération , il est nécessaire de calculer la quantité — ^ jusqu'aux

1000''"'", et même jusqu'aux loooo'''"'". Soit l'équation

dont, ainsi qu'il est aisé de s'en assurer, l'une des racines est comprise entre 2 et 3; quant aux deux autres, elles sont imaginaires [comme nous le verrons au n° 3i2, deuxième exemple).

On reconnaîtra d'abord facilement, par la substitution des moyens termes, que la racine réelle est comprise entre 2,9 et 3.

Maintenant faisons, dans l'équation,

il en résulte la transformée

dans laquelle

— 1 u li' -i- «^ = o.

que la méthode peut être en défaut, ainsi qu'on peut s'en assurer eu réfléchissanlsur lu composition des quantités Y', Z', ....

Alg- B 3o

466 CUAPITRE YIII.

Négligeant les termes en m' et n\ on a