X' 0,01 1 II Y

Or, si l'on réduit cette expression en fraction décimale, on trouve des zéros pour les trois premiers chiffres décimaux, et 5 pour le quatrième chiffre; c'est-à-dire que l'on a // - o,ooo5 (en tenant compte des quatre premiers chiffres décimaux) : ce qui donne, pour la valeur de x,

Pour vérifier cette valeur, il faut substituer 2,9005 dans la proposée: on trouve — o,ooi38, résultat de signe contraire à celui que donne a: - 3; mais, en substituant .r = 2,9006, on obtient -h o,ooo54, qui est de signe contraire à — o,ooi38. Donc 2,9005 exprime la valeur de jt à 0,0001

près(*). ■

338. Rapprochement des deux méthodes .— La méthode d'approximation de Lagrange, quoique en général moins expéditive que celle de Newton, a sur celle-ci l'avantage de donner à chaque opération une approximation toujours certaine.

On pourrait même, à la rigueur, trouver, par la méthode de Lagrange, les racines commcnsurahles . La fraction continue que l'on obtiendrait serait alors composée d'un nombre limité de fractions intégrantes ; c'est-àdire que, en continuant convenablement les opérations, on parviendrait à une équation Y,„)= o, dont la racine positive, plus grande que i, serait égale à un nombre entier ; et, toutes les réduites consécutives étant formées, la dernière représenterait la vraie valeur de la racine commensurable.

Ce moyen est sans contredit moins simple que la méthode exposée au n" 320; mais c'est le seul que l'on pût employer si l'on supposait que quelques-uns des coefficients fussent irrationnels ; car la méthode ordinaire n'est applicable qu'aux équations dont tous les coefficients sont des nombres commensurables.

La méthode de Newton ne pourrait pas donner ces mêmes racines exactement, puisque, d'après sa nature, on n'obtient les valeurs numériques des racines que sous la forme de fractions décimales.

Nous observerons toutefois que l'application simultanée des deux méthodes à une môme équation peut abréger beaucoup les calculs. Ainsi, par exemple, après avoir d'abord employé la méthode des fractions continues pour obtenir chacune des racines à 0,1 et même à 0,01 près, rien n'em-

(*) Voir la Note VII à la fin du Volume,

COMPLÉMENT DE L\ THÉORIF. DES HACINES, ETC. 4^7

pêche d'avoir recours à la méthode de Newton pour obtenir un plus grand degré d'approximation.

La méthode de Newton suppose, en général, comme celle de Lagrange (330), que p et/7-1- i ne comprennent qu'une seule racine de l'équation.

Seconde Partie. — Cas où deux nombres entiers consécutifs peuvent comprendre plus d'une racine réelle.

339. Lorsque, par la substitution des nombres entiers consécutifs compris entre les limites -f- L et — L', on obtient autant de changements de signe qu'il y a d'unités dans le degré de l'équation, il est clair que toutes les racines de l'équation sont réelles, et que chacune d'elles a une partie entière différente.

Mais si le nombre des changements de signe est moindre que le degré de la proposée, cela peut provenir, ou de ce que l'équation a des racines réelles et des racines imaginaires, ou bien de ce que plusieurs racines incommensurables sont comprises entre deux nombres entiers consécutifs. En effet, on a vu (30i) que deux nombres qui, substitués dans le premier membre d'une équation, donnent des résultats de signes contraires, peuvent comprendre un nombre impair quelconque de racines réelles, et que deux nombres qui donnent des résultats de même signe peuvent en comprendre un nombre pair quelconque.

Par exemple, si une équation devait avoir deux racines, v^ï et y/S par exemple, lesquelles sont comprises entre i et a, il arriverait que i et 2, substitués dans la proposée, donneraient des résultats de même signe.

Pareillement, qu'une équation ait trois racines, /ii, y/Ts, \/i5, comprises entre 3 et 4, ces deux derniers nombres substitués donneraient des résultats de signes différents.

On voit donc que la méthode de substitution des nombres entiers consécutifs serait, dans ce cas, insuÊBsante pour mettre en évidence toutes les racines réelles de la proposée, et qu'elle aurait l'inconvénient de laisser échapper quelques racines.

340. Cet inconvénient disparaîtrait si l'on pouvait déterminer a priori une quantité a , numériquement moindre cjue la plus petite des différences qui existent entre deux quelconques des racines réelles d'une équation proposée ; car soit mise la quantité B pour intervalle entre deux nombres successivement substitués ; il est évident que si deux pareils nombres donnaient des résultats de signes contraires, ils comprendraient une racine et n'en comprendraient qu'une; et que s'ils donnaient des résultats de même signe, ils ne comprendraient aucune racine. Ainsi le nombre des racines réelles de réf{uation serait égal au nombre des changements de signe obtenus par les substitutions.

468 CHAPITRE Vlll.

Voyons donc s'il n'y aurait pas quelque moyen de déterminer la quantité 3. Or cela est facile au moyen de l'équation aux carrés de dijfé-

re/iccs.

En effet, désignons par X -= o léqualion proposée, et par Z ^ o l'équation aux carrés des différences, équation que nous avons appris à former (273 et 297).

Remarquons d'abord que, le carré de la différence entre deux racines réelles (luelconques de la proposée étant i^nsitif, on ne doit chercher les carrés des différences entre les racines réelles que parmi les racines positives de l'équation Z = o. (Ses racines négatives correspondent aux différences qui existent dans la proposée, soit entre deux racines imaginaires, soit entre une racine réelle et une racine imaginaire.)- Donc, si l'on cherche la limite inférieure des racines positives de l'équalion Z = o, et qu'on en extraye la racine carrée, on sera certain d'avoir une quantité numériquement moindre que la plus petite des différences qui existent entre deux racines réelles de la proposée, c'est-à-dire la quantité cherchée S.

Pour obtenir cette limite, il faut (310) poser z = '- dans Z - o, ce qui donne la transformée V - o. Soit / la limite supérieure des racines positives de V == o; - sera la limite inférieure de Z ^ o. Ainsi -= est la

quantité B qu'il s'agissait de déterminer.

Lorsque en recherchant la limite / la i lus resserrée possible, soit par la méthode de Newton (309), soit par celle des décompositions (308), on trouve

/ < I , il en résulte — ou S '^' i ;

et cela indique que la différence entre deux racines réelles quelconques est plus i^randc que l'unité. Dès lors on est certain que le nonibn- des racines réelles de la proposée est égal nu nombre de changements de signe qu'on avait d'abord obtenu p.ir la substitution des nombres entiers consécutifs.

Mais ordinairement on trouve

/ >i, d'où -- ou <y < I.

Dans ce cas, comme \fl est, en général, incommensurable, il convient de remplacer v/7 par le nanbre entier /.• immédiatement supérieur; ce qui donne j < -^^ et, à plus forte raison, j moindre que la plus petite des