COMPLÉMENT DE LA THÉORIE DES RACINES, ETC
différences entre les racines réelles. On pourrait donc mettre -j pour intervalle entre deux substitutions consécutives; c'est-à-dire que, en substituant dans X — o la suite des nombres o,-, -,•••■ 1,1 + 75 n-j5---i2,
2+ -) • • • jusqu a L, et o, — y? — y? - •• - — i ,. . . jusqu a — L , on ob-
« k ri
tiendrait autant de changements de signe que l'équation doit avoir de racines réelles.
Mais on peut encore éviter la substitution de nombres fractionnaire.^ par la transformation suivante :
Posons, dans l'équalion,
il en résulte (2Ga) une équation dont les racines sont k fois plus grandes que celles de la proposée. Par conséquent les différences entre ces nouvelles racines sont elles-mêmes /■ fois plus grandes que les différences correspondantes entre les racines de la proposée; en sorte que, si [n — b) désigne la plus petite des différences relatives à X = o, comme on avait
{a — ^ I > y , il en résulte l,a — /& > i.
Ainsi la nouvelle équation Y = o est telle que les différences entre toutes ses racines réelles, considérées deux à deux, sont plus grandes que l'unité.
Donc, enfin, si l'on substitue dans cette équation la suite naturelle des nombres o, 1,2, 3,. . . et — i, — 2, — 3,. . . , compris entre les deux limites, on obtiindra autant de changements de signe que l'équation Y = o aura d*^. racines réelles.
(Les ^eu\ limites de Y = o sont d'ailleurs -\- /L et — IiL\ -. L et — L' désigna, celles de X = o.)
3il. Résu..aons ce qui vient d'être dit :
Pour mettre en évidence toutes les racines réelles incommensurables d'une équation X ^ o, il faut :
1° Former Vé([uation aux carrés des différences, Z — o;
2" Délcnmncr la limite inférieure - des racines positives de cette dernière cijuatinn. (Si l'on trouve - : i, c'est une preuve que la différence entre deux racines léelles quelconques de la proposée est aussi plus grando
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que l'unité; dès lors la subslitutiun des nombres cnliers consécutifs dans la proposée suffit pour mettre toutes les racines réelles en évidence.)
3° Dans le cas eénéral do - < i, remplacer -^ par t (^' étant le nom- ^ / ^ ' ' y/' '^
bre entier immédiatement supérieur à \fi)^ et poser ^ -\ dans la proposée, ce qui donne une équation Y— o, dont on recherche toutes les racines réelles, d'après la méthode exposée dans la première partie de ce paragraplie.
4° Fnfm substituer successivement ces voleurs clans la relation x = j»
On obtient ainsi toutes les racines réelles de la proposée.
N. B. — Observons que si, pour mettre toutes les racines réelles de X = o en évidence, on a été obligé de la transformer en une autre dont les racines soient /• fois plus grandes que celles de la proposée, ces dernières sont déjà obtenues à une fraction près j- Cela résulte évideramait
de la. relation x = -■
