Appliquons cette méthode à l'équation

(i) 8x"— Gx — I -- o.

Les limites supérieures des racines tant positives que négatives sont évidemment s- I et — I .

Faisant, dans cette équation,

on trouve pour résultats

La substitution ne donne lieu qu'à un seul changement de signe; ainsi nous devons avoir recours à l'équation aux carrés des différences.

Si Ton forme cette équation, soit par la méthode d'élimination (273), soit par les fonctions symétriques (297), on trouve pour résultat

Posons z =- -: il en résulte (' '

(2) 8i(''— 324c--^-.28Si'- 64 = O,

équation qui peut être mise sous la forme

èn>^{i> — 4) -i- 32(9(' — 2; = o;

COMPLÉMENT DE LA THÉORIE DES RACINES, ETC. 47 ï

et il est facile de reconnaître que 3 est, en nombre entier, la limite supérieure la plus resserrée des racines positives. Ainsi l'on a

/=3; d ou -7 = ;t5 et -^=-^-

Remplaçant \/3 par le nombre entier 2, immédiatement supérieur, on obtient ^ pour la quantité moindre que la plus petite différence qui puisse exister entre les racines réelles de la proposée. Faisant donc dans la proposée, conformément à la règle du n°3H,

X — •-■, on a la transformée

équation dont toutes les racines réelles ont entre elles une différence plus grande que l'unité.

Les limites supérieures des racines positives et des racines négatives étant d'ailleurs -r- 2 et — 2, il suffit de faire, dans l'équation (3),

jr-."x-i-2, H-I, G, — I, — 2,

ce qui donne les résultats,

On obtient évidemment, par ces substitutions, trois changements de signe : ainsi l'équation (3) a ses trois racines réelles, l'une comprise entre i et 2, une autre entre o et — i, et la troisième entre — i et — 2.

Donc, enfin, l'équation (i) a elle-même ses trois racines réelles, l'une comprise entre ^ et 1 , la seconde entre o et — i, et la troisième entre — ^et — I.

Pour approcher davantage de ces racines, on appliquera d'abord à l'équation (3) l'une des deux méthodes d'approximation ; après quoi l'on sub-

stituera, dans la relation x ---■, les valeurs de job tenues; ce qui donnera

les valeurs de x correspondantes.

On trouvera par ce moyen, pour l'équation j)'^ — 3/ — 1 = 0,

(*) En appliquant la méthode de Newton au calcul de la seconde valinir de ^, on reconnaît qu'elle est en défaut , et le chifiVe des centièmes obtenu par la règle du n° 335 doit être corrigé de deux unités par !e moyen indiqué au

47*^ CHAPITUE VIII.

ot pour l'équation 8x^— Gx — i — o,

j: = 0,9897, or =—0,1737, .rrr— 0,7660.

Ces valeurs sont exactes à 0,0001 près. Prônons pour autre exen^.ple l'équation

pour laquelle la substitution des nombres entiers consécutifs, rompris entre les limites — 3 et -+- 3, ne donne lieu qu'à un seul changement de signe.

On a obtenu (299, deuxième exemple), pour l'équation aux carrés des différences,

Soit posé s = -; il en résulte la transformée

459j)''^-)- 3^4 r-— 36 )• -t- i ;- o. Or il est évident, d'après son inspection, que la limite supérieure / des racines positives est < i , d'où l'on déduit — > 1 . Ainsi les différences

entre les racines réelles de la proposée sont (3i0) toutes plus grandes que l'unité. Donc, puisqu'elle ne donne lieu qu'à un seul changement de signe, on est en droit de conclure que la racine positive est la seule racine réelle qu'elle renferme.

3i3. Première remarque. — La méthode exposée au n° 341 pour mellrc en évidence les racines incommensurables, lorsque plusieurs racines peuvent être comprises entre deux nombres entiers consécutifi, ne saurait être appliquée aux équations qui ont des racines égales.

En effet, supposons qu'une équation ait deux racines réelles égales à a\ comme ces deux racines ne forment qu'un seul et même nombre, elles sont nécessairement comprises entre deux des nombres substitués, quelque !)etite que soit leur différence. Ainsi ces nombres, qui comprennent deux racines, devront (304) donner deux résultais de même signe, aussi bien que deux nombres qui n'en comprendraient pas. Si l'équation pouvait avoir trois racines égales à «, les deux nombres qui les comprendraienl donneraient deux résultats de signes contraires, aussi bien que deux nombres qui comprendraient une seule fois cette racine.

Observons d'ailleurs que, l'équation X o ayant des racines égales. l'équation aux carrés des différences, Z o, aurait nécessairement des