COMPLÉMENT DE LA THÉORIE DES RACINES, ETC

racines égales à zéro; et alors la limite inférieure des racines positives de cette dernière équation serait zéro : c'est-à-dire qu'il faudrait mettre un intervalle nul entre deux substitutions, ce qui est absurde.

Concluons de là que, avant d'appliquer la méthode du n° 341, il est nécessaire de débarrasser la proposée des racines égales qu'elle peut avoir. (ro/rn°281.)

3i4. Seconde remarque. — Quand l'équation proposée est du troisième. du quatrième ou du cinquième degré, et qu'elle a ses coefficients commensurables, il esL inutile de lui appliquer la méthode des racines égales.

En effet, il résulte d'abord de la nature de cette méthode, laquelle consiste essentiellement dans la recherche du plus grand commun diviseur entre le premier membre de la proposée et son dérivé, qu'elle ne peut conduire qu'à un polj-nôme diviseur, dont les coefficients sont rationnels comme ceux de l'équation elle-même.

Cela posé, dans le cas où l'équation est du troisième degré, le commun diviseur (s'il en existe) est du premier ou du deuxième degré au plus. S'il est du premier degré, en l'égalant à zéro, on ne peut tirer de l'équation résultante qu'une racine commensurable. S'il est du deuxième degré, le quotient du polynôme proposé, par ce diviseur, est du premier degré, et no saurait encore donner qu'une racine commensurable. On voit donc <\\xune cquntion du troisième degré dont les coefficients sont rationnels, et qui n\t pas de racines commensurables , ne saurait avoir de racines égales.

Si l'équation est du quatrième degré, le plus grand commun diviseur (s'il en existe) entre le premier membre et son polynôme dérivé, ne peul être ni du premier ni du troisième degré; car, dans un cas comme dans l'autre, on en déduirait que l'équation a des racines commensurables, ce qui serait contre l'hypothèse ; et s'il est du deuxième degré, les facteurs de ce polynôme diviseur ne sauraient être égaux, puisqu'il en résulterait encore que l'équation aurait des racines commensurables. Mais si les deux facteurs sont inégaux, il en résulte nécessairement (277) que chacun d'eux entre au carré dans le polynôme proposé, qui est alors un carré parfait.

Ainsi, dans ce cas, au lieu de soumettre l'équation à la méthode des racines égales, on peut se borner à cxtnnre la racine carrée de son premier membre ; et si la racine nest pas exacte, on en conclut que r équation n'a pas de racines égales.

Enfin toute équation du cinquième degré qui n'a pas de racines commensurables ne peut avoir de racines égales ; car i° elle ne saurait admettre une seule espèce de racines égales ; 2° si elle en avait de deux espèces différentes, il faudrait nécessairement que la proposée admît une racine commensurable

Donc, enfin, il est inutile d'appliquer la méthode ordinaire des racines égales aux équations des troisième, quatrième et cinquième degrés.

3i5. Troisième remarque. — Ce qui précède suffit pour faire sentir combien l'application de la méthode du n" 3il est iaborieuse, puisqu'elle suppose, outre la recherche des racines égales, la formation de l'équation aux carrés des différences. Or, dès que la proposée est d'un degré supérieur au quatrième, les calculs relatifs à la détermination de cette dernière équation sont impraticables par leur longueur. Il est donc à propos de faire connaître quelques circonstances dans lesquelles on peut éviter tous ces calculs.

1° Si, en substituant les nombres o, i , 2, . • . , — i , — 2, — 3, . . . , compris entre -h L et — L', on obtient autant de changements de signe qu'il y a d'unités dans le degré de la proposée, on est certain que toutes les racines de récjuation sont réelles, et que chacune d'elles a une partie entière différente.

2° Il peut se faire que, sans connaître les racines d'une équation, on sache à priori combien elle doit avoir de racines réelles (la Trigonométrie on offre des exemples) (*). Cela posé, il se présente deux cas :

Ou la substitution des nombres o, i, a, . . ., — i, — 2, . . . donne lieu à autant de changements de signe que l'équation a de racines réelles ; dans ce cas, toutes les racines réelles sont encore mises en évidence, et chacune d'elles a une partie entière différente ;

Ou bien le nombre des changements de signe est moindre que celui des racines réelles. Conjme, dans ce cas, on est assuré d'avoir laissé échapper quelques racines dont les différerices sont moindres que l'unité, il faut tâcher de rendre ces différences plus grandes. Pour cela, on fait dans la

proposée x — -■) k étant une indéterminée, ce qui donne la transformée

Y -= o, dont les racines sont k fois plus grandes que celles de la proposée (il en est, par conséquent, de même des dilTérences). On donne ensuite à /• diverses valeurs. Soit, en premier lieu, k ='i\ substituant dans Y=: o la série naturelle des nombres, on voit si le nombre des changements de signe devient égal au nombre des racines réelles que l'on sait devoir exister dans la proposée. Si l'hj^polhèse X — 3 ne réussit pas, on fait /■ = 4, 5,..., jusqu'à ce qu'enfin on obtienne pour la transformée correspondante le nombre de changements de si^ne exieé.

(*) Voir mon Traité de Géométrie analytique pour la dcteriïiinalion, par des intersections de courbes, du nombre des racines réelles qu'une équation peut renCermer.

TQÉORÈME DE M. STURM. 4?^

N. B. — Il faut bien observer ici qu'on suppose l'équation dépourvue de racines égales.