THÉORÈME DE M. STURM

Son appUcotion a la recherche des racines incommensurables

C'est ici le lieu de faire connaître un fort beau théorème à l'aide duquel toutes les racines incommensurables d'une équation peuvent ê're mises en évidence bien plus simplement qu'avec le secours de l'équation uux différences.

Nous venons de voir (34S, i°) que, si l'on connaissait a priori le nombre des racines réelles d'une équation, on parviendrait aisément à leur détermination, puisqu'il suffirait alors de subdiviser convenablement l'intervalle des substitutions successives. Or le théorème de M. Sturm atteint complètement ce but, ainsi qu'on va le voir.

346. Soit X — 0 une équation à coefficients réels, que nous supposerons n'avoir pas de racines égales. Appelons X, son premier polynôme dérivé, et appliquons à X, X, le procédé du plus grand commun diviseur relatif (246, iS9), avec cette condition, toutefois, de ihanger le signe du reste de chaque opération, et de prendre ce reste ainsi modifié pour diviseur de l'opération suivante. (Ce changement de signe est une condition essentielle dans l'énoncé et la démonstration du théorème.)

Désignons d'ailleurs par X„ X3, X^. . . ., X^ les restes successifs, pris avec des signes contraires.

Nous pourrons exprimer la série complète des opérations par le tableau suivant :