X ..=-X,ry,-X,, X. - X,7j-X

X^ est nécessairement indépendant de x et différent de zéro, puisque, par hypothèse, l'équation n'a pas de racines égales.

Considérons maintenant les fondions X, X,, Xj. . . ., X^, et supposons que l'on y substitue pour x deux nombres p et fj de signes quelconques [p étant <7). D'abord la substitution de />> donnera pour chaque fonction un résultat généralement positif ou négatif (mais qui pourra quelquefois être nul) ; et en ne tenant compte que des signes de ces résultats, on obtiendra une suite de signes qui, écrits sur une même ligne, présenteront une certaine succession de variations et de permanences.

47^ CnAPITRE VIII.

Pareillement, la substitution de 7 à la place de x donnera une seconde suite de signes présentant de môme une certaine succession de variations et de permanences.

Or le théorème en question consiste en ce que :

Ln dili'érence entre le nombre des rwriatinns qiCoJfre lu première suite de signes, et le nombre des variations de la seconde, exprime exactement le nombre des racines réelles de la proposée, qin se trouvent comprises entre p et q.

3i7. De là résulte la règle suivante, pour obtenir le nombre total des racines réelles d'une équation.

Après avoir déterminé (310) les limites — L' et h- L des racines négatives et positives,

1° On applirpie aux deux polynômes 'X,X^ le procédé du plus grand commun divisrur aocc la modification indiquée dans le numéro précédent. Cela donne une série de fonctions X, X,, Xj. . . . , X^ , qui sont généralement au nombre de [m ■+ i), m étant le degré de l'équation.

2° On écrit sur une première ligne les signes des résultats de la substitution de — L' dans chacune des fonctions, et, sur une seconde ligne, les signes des résultats de la substitution de -i- L. (Le signe de X^ doit rester le même, puisque X,. est indépendant de x.)

3° On compte le nombre de variations qu'ojfre la première ligne et le nombre de variations de la seconde. La différence entre ces deux nombres est l'expression du nombre total des racines réelles de la proposée.

Cette règle est d'un usage facile dès que l'on connaît les fonctions X, Xp X^,. • .; et si les opérations nécessaires à leur détermination sont un peu laborieuses, on n'en doit rien conclure contre la simplicité de la règle: car il y a (sauf les changements de signe indiqués) identité entre ces opérations et celles que comporte la méthode des racines égales, méthode à laquelle il faut soumettre préalablement toute équation dont on recherche les racines incommensurables.

3iS. La démonstration du théorème ci-dessus repose sur plusieurs principes que nous allons d'abord établir.

Prcmièrrment^ — Considérons la fonction X en particulier, et soit a une racine réelle de X = o. Si l'on met n + u à la place de .r, dans X. on obtient (328) un résultat de la forme

(A étant le résultat de la substitution de a pour x dans X, et A', A", A'", . . . les polynômes dérivés do A d'après la loi connue).

THÉORÈME DE M. STLRM. 497

Comme, par hypothèse, a est racine de x = o, on a A = o, et l'expression précédente se réduit à

Or je dis qu'on peut toujours trouver pour u un nombre assez petit pour que la quantité entre parenthèses soit de même signe que son premier terme A' (qui d'ailleurs est différent de zéro tant que X = o n'a pas de racines égales).

Il suflit, en effet, pour cela d'obtenir pour u une valeur qui rende

— u -h -^ -«"-i- . . . numériquement moindre que A'. Or nous avons vu

l303) comment on remplit cette dernière condition; ainsi il est toujours possible de satisfaire à la précédente.

Il e^t en outre évident que, dès qu'on a obtenu pour rindéterminée u une valeur remplissant cette condition, toute valeur plus petite y satistaiL à plus forte raison.

3i9. Deuxièmement. — Si l'on conçoit que, dans les fonctions X, X,,

X , on remplace x par un nombre quelconque o, // ne peut jamais

arriver que deux fonctions consécutives s'évanouissent à la fois.

En effet, considérons les trois fonctions consécutives de rang quelconque

On a (346) l'égalité

Or, si l'on pouvait avoir à la fois X„, = o, X„— o, on en déduirait mais, comme on a aussi

il en résulterait encore X,,^, — o; et ainsi de suite. On parviendrait alors finalement à l'égalité X^= o; ce qui est .absurde, puisque, la proposée n'ayant pas de racines égales, X^ ne saurait être nul.

Troisièmement. — La même relation X„, -- X„/7„ — X,,^, nous apprend que, si une fonction X„ devient nulle par la substitution de x — a, les deu.\ fonctions X,.,, X,,^,, entre lesquelles elle est placée, sont nécessairement (le signes contraires pour la même valeur x - n.

3dO. Ce? principes admis, désignons par /• une quantité positive ou négative, m.ais moindre ^ c'est-à-dire plus rapprochée de \ infini négatif) que

478 CHAPITRE Vin.

toutes les racines réelles des équations X - o, X, - o, Xj— o, . . ,, X,., -^ o; et concevons que, en faisant croître x d'une manière continue (303) à partir de /-, on substitue toutes ces valeurs successives dans les fonctions X, X,, X^, . . . , X^.

Il est d'abord facile de voir que les variations et les permanences fournies par les signes de ces fonctions et celui de X^ (que nous savons déjà (Hre constant) se reproduiront toutes et dans le môme ordre, tant que X n'aura pas atteint une des valeurs qui rendent nulle quelqu'une de ces fonctions; car, pour que le nombre ou l'ordre de ces variations et permanences vienne à se modifier, il faudra évidemment que l'une des fonctions, X„ par exemple, change de signe, et, par conséquent (303), que X„ soit d'abord devenu nul.

Supposons actuellement qu'une valeur x - a rende mille une ou plusieurs des fonctions [a étant d'ailleurs le phis petit des nombres qui jouissent de cette propriété), et voyons ce qui doit amver.

H peut se présenter deux circonstances : ou ^ - n anéantira une (ou plusieurs) des fonctions intermédiaires X,, X^, X . . . , X,.,, sans faire évanouir X; ou bien x -= a anéantira X, pouvant d'ailleurs rendre aussi nulle une ou plusieurs des fonctions intermédiaires. Or je dis que, dans le premier cas, aucune variation ne disparaîtra dans le passage de x par les trois états consécutifs a — w, a, a j- « [u étant l'intervalle des substitutions successives); que, dans le second, une variation disparaîtra, et qu'il n'en disparaîtra qu'une seule si u est suffisamment petit.

Considérons le premier cas, celui oîi la fonction X„, par exemple, devient nulle pour x = a, sans que X le soit en même temps.

Comme, pour la même valeur x ^ a, X„, et X„^, ne peuvent devenir nulles, et qu'elles sont de signes contraires (349), il s'ensuit que les trcis fonctions consécutives

formeront, quant aux signes, l'une des deux combinaisons

-i-, o, —, ou — , o, -i- ;

et soit qu'on prenne zéro avec le signe -t- ou avec le signe —, on voit qu'il en résulte une variation et une permanence.

D'un autre côté, chacune des fonctions X„,, X„^, a dû conserver le même signe pour les valeurs de x comprises depuis x — k jusqu'à x ---- a\ et les signes ne doivent pas changer dans le passage dejr = aàj: = <3r-h«, puisqu'on peut toujours supposer u assez petit pour qu'aucune racine de X„,= o, X„^, = o ne soit comprise entre a et « + u.

On peut donc affirmer que les trois fonctions ci-dessus, qui, poux j: = a,