U, = A, H- A', M H ^ II

Comme, par hypothèse, a est racine de X = o, on a nécessairement A = G. De plus, les deux quantités A' et A,, exprimant Tune et l'autre le résultat de la substitution de a pour x dans X,, n'en forment qu'une seule qui est différente de zéro, puisque X = o n'a pas de racines égales. Ainsi les deux égalités précédentes se changent en celles-ci

dont les seconds membres sont nécessairement de même signe que leurs premiers termes A'« et A', lorsqu'on prend (348) pour l'indéterminée u une valeur suffisamment petite. On voit donc que U et U, sont de même signe quand u est positif, et de signes contraires quand u est négatif.

D'où il résuite que les signes des deux fonctions X, X,, qui présentaient d'abord une variation pour x ^ a — u, formaient ensuite une permanence pour X ^^ a -^ u.

Ainsi, dans le passage deo^^^a — wàx=a-r-a, une. variation s'est changée en une permanence.

La même conséquence aurait lieu lors même que x = a, qui satisfait à X = o, anéantirait en même temps une ou plusieurs autres fonctions, puisque, comme on l'a vu précédemment, quand une de ces autres fonctions vient à s'évanouir, le nombre des variations ne change pas pour cela.

Maintenant, si, à partir de .r = a -h a, on continue de faire croître x par degrés insensibles, le nombre actuel des variations de la suite des

48o CUAPITUE VIII.

signes demeurera le même jusqu'à ce que x vienne à dépasser une nouvelle racine de X = o; auquel cas une seconde variation disparaîtra, el se trouvera remplacée par une permanence; el ainsi de suite.

Donc, enfin, le nombre des variations perdues lorsque x croît depuis une valeur quelconque /-jusqu'à une autre valeur k' est égal au nombre (les raciitis réelles de X -- o, comprises entre k et /'.

Ce qui démontre évidemment le théorème énoncé n" 3-iG.

3S2. Avant do passer aux applications, nous ferons plusieurs remarques fort importantes.

1° Dans la recherche des fonctions X, X,,. . . , on peut introduire ou supprimer des facteurs numériques (2o9), pourvu que ces facteurs soient positifs ; mais il faut bien prendre garde, quant aux signes, à ne faire que les changements indiqués au n° 346, puisque c'est de la considération des signes dont les fonctions X, X,, X^,... sont affectées que dépend principalement la démonstration du théorème de M. Sturm.

2° Quand on veut simplement connaître le nombre total des racines réelles de l'équation proposée, il n'est pas nécessaire d'opérer la substitution des limites — L' et -i- L dans les fonctions X, X, , ... : il suffit de substituer — « et -.- oo dans le premier terme de chacune d'elles, puisque l'on sait (305) que le signe de la fonction est alors le même que le signe de ce premier terme.

La substitution de — =o et de -i- co dispense de déterminer d'abord les deux limites — L' et h- L, quil faudrait d'ailleurs calculer de manière qu'elles convinssent à toutes les fonctions, si l'on ne voulait opérer la substitution que dans leur premier terme.

Nous ajouterons même que, en faisant usage de la méthode de AI. Sturm, un n'a besoin, dans aucun cas, de connaître a priori les deux limites — L' et -i- L. En effet, après avoir reconnu d'abord combien il y a de racines réelles dans la proposée, si l'on veut ensuite déterminer d'une manière plus précise le lieu des racines, il n'y a qu'à substituer successivement les nombres o, 1,2, 3, . . . , et o, — i , — 2, ... ; et dès que, par la substitution de o, 1,2,..., on est parvenu à une suite de signes qui présente autant de variations qu'en avait données la substitution de -1- 00 , on peut affirmer qu'il n'y a plus de racines au delà du dernier nombre substitué. Même raisonnement par rapport aux nombres o, — i, — 2,

On obtient ainsi les deux limites supérieures les plus resserrées (en nombres entiers); ce que ne donne pas toujours dune manière bien certaine (30'i) la méthode de Newton, mal appliquée.

3° Si Ton cherche ensuite combien il y a de racines réelles comprises entre deux nombres particuliers /> et «y, il peut se faire que/* ou q rende

APPLICATIONS DU THÉOUfeME DE M. STURM. 4^1

nulle quelqu'une des fonctions. Dans ce cas, quand c'est une fonction intermédiaire, X„, qui s'évanouit, on n'a pas besoin de tenir compte du résultat o dans la suite des signes, car on a vu (3i9) que X„|, X,,^, offrent une variation pour cette même valeur de jt; or la combinaison du

double signe ± dont o est censé affecté, avec les signes h , ou h,

ne donne encore qu'une variation. Ainsi le nombre des variations n'est nullement altéré par l'omission du résultat o.

Lorsque c'est X qui s'évanouit pour x = p, par exemple, on conclut d'abord que p est racine de X = o ; puis on compte les variations qui existent à partir de X,.

4° Enfm si, après avoir obtenu les fonctions X, X,, X^,..., X^, on vient à reconnaître que l'une des fonctions intermédiaires, X„, est de nature à conserver constamment le môme signe pour toutes les valeurs comprises entre p et q [p étant <</), il est inutile de substituer ces nombres dans les fonctions suivantes ; car autant la suite des fonctions jusqu'à X„ inclusivement présentera de variations de plus pour x = p que pour j: = </, autant il y aura de racines réelles comprises entre p et q.

Il suffit, pour s'en convaincre, d'appliquer aux fonctions X, X,, Xj, . . . , X„ ce qui a été dit (350, 35 J ) par rapport à toutes les fonctions. La suite des signes, jusqu'à celui de X„ inclusivement, perdant une variation pour chaque racine de X = o, et le nombre des variations n'étant nullement altéré par l'évanouissement de quelqu'une des fonctions intermédiaires X,, Xj, . . . , X„,, puisque d'ailleurs X„ conserve toujours le même signe par hypothèse, il faut nécessairement qu'autant il y a de variations

perdues dans la suite des signes de X, X,, , X„, lorsqu'on passe de

X = p a X = q, autant il y ait de racines de X = o comprises entre ces deux nombres.

On déduit de là le cas particulier suivant : si, dans le cours des divisions nécessaires à la détermination des fonctions X, X,,. . ., X^, on reconnaît qu'une certaine fonction, X„, ne peut avoir que des racines imaginaires, comme alors elle ne saurait changer de signe (313), quelque valeur qu'on y substituât pour x, on n'a pas besoin de pousser plus loin les divisions ; c'est-à-dire qu'il est inutile de déterminer X„^,,. . . , X^.

Cette circonstance est très-importante à retenir : car, en raison de la grandeur des coefficients numériques, on ne peut se dissimuler que les calculs relatifs à la détermination des fonctions successives ne soient trèspénibles, surtout lorsqu'on arrive aux dernières.

[Foir le troisième et le quatrième des exemples du numéro suivant.)

353. Faisons maintenant quelques applications, en ne considérant tou- JU. B. . 3i

482 CUAflTRE VIÏI.

tefois que des équations qui, par la substitution des nombres entiers consécutifs compris entre les limites, donnent moins de changements de signe qu'il n'y a d'unités dans le degré de la proposée. Premier exemple i

(t) 8ar^— 6x — 1 = 0.

(Cotte équation a déjà été traitée n° 3-42.) On a d'abord

X, = 24-^' — 6, ou plutôt X|=4-^^— ï

(d'après la première remarque du n° 3j2). Divisant X par X,, on obtient pour reste

— \x — i; d'où X2= -4- 4-^-i- I-

La division de X, par X^, après les préparations convenables (259), et en vertu de la première remarque du n° 332, donne pour reste

— 3 ; d'où X3= -i- 3.

Ainsi l'on a, pour les fonctions cherchées,

X=8x3— 6x — I, X,= 4.r^— I, Xj=4j:-^i, X3=-+-3.

Cela posé, la substitution de — oo et de -t- «o dans les premiers termes de ces fonctions donne les deux suites

\ H ... 3 vdrialinns,

ce qui prouve que l'équation a ses trois racines réelles, puisqu'il disparaît trois variations dans le passage de — «s à -;- oo .

Soit fait maintenant dans les mêmes fonctions .r = — i, o, -*- i ; on trouve :

Pour r— — I, 1 ^...3 variations,

Comme — i donne trois variations, et que o n'en donne qu'une seule il s'ensuit que o et — i comprennent deux racines.

Pareillement, o donnant une variation, et -f- 1 n'en donnant aucune, il y a une racine comprise entre o et i.

Pour séparer les deux racines négatives, il faut (345) resserrer l'intervalle des substitutions; mais, auparavant, il convient de changer x en