APPLICATIONS DU THÉORÈME DE M. STURM

— .r, ce qui ramène l'équation (i) à

(2) ■ Sx^— 6j7 -t- I = o;

et les racines positives de cette nouvelle équation, étant prises avec le signe — , donneront les racines négatives de la proposée.

Actuellement, posons (34o), dans l'équation (a), x = -; il en résulte la transformée

Or, en faisant successivement 7 =0, i , 2, on trouve pour résultat*

donc les deux racines positives de l'équation ( 3 ) sont comprises, l'une entre o et i, et l'autre entre i et 2. Appliquant à l'équation (3) l'une des deux méthodes d'approximation,

et substituant les valeurs obtenues pour j, dans la relation x — -, ou

y plutôt X = — - (à cause du changement de x en — x), on aura, avec tel

degré d'approximation que l'on voudra, chacune des trois racines de l'équation proposée.

N. B. — Pour le calcul de la racine positive de l'équation (i), on peut opérer directement sur cette équation.

Deuxième exemple :

(i) X* — "ix^ — 7.r'-f- io.r 4- 10 = o.

En appliquant à cette équation la règle du n° 346, on trouve successivement

X = j;*— ix^— yx'^-i- lox + 10, X, = -ix^ — 3.r^— yx -+- 5, X2 = lyx'^ — 23 a: — 45, X3= iS^x — 3o5,

Si l'on substitue — <» et -f- <» dans les premiers termes de ces fonctions, on obtient les deux suites

H 1 h ... 4 variations,

donc les quatre racines de l'équation sont réelles.

484 CHAPITUE VIII.

Actuellement, soit fait successivement, dans les fonctions.

et X

il vient, pour

puis, pour

variations ,

variations,

D'où l'on voit que l'équation a r/d'//a: racines positives comprises entre 2 et 3, une racine négative comprise entre o et — i, enfin une racine négative comprise entre — 2 et — 3.

Pour séparer les deux racines positives, on pourrait (343) faire, dans

l'équation, .v = - o\x -^i - ■ • : mais on va voir que la méthode d'approximation de Lagrange suffit pour opérer cette séparation.

Soit, en effet, posé, dans l'équation (i), jt = 2 -h -: il vient, tout calcul fait (328), la transformée (i) 2/— 10/+ 57=^^-67^1 = 0,.

qui a nécessairement deux racines plus grandes que l'unité.

Or, en faisant successivement 7= i, 2, 3, 4, 5, on trouve pour résultats

d'où l'on voit que les deux valeurs de 7 sont comprises, l'une entre i et 2, l'autre entre 4 et 5 ; c'est-à-dire que les deux valeurs de x seront exprimées par deux fractions continues de la forme

et X = 2 -1-

•et l'on pourra déterminer chacune de ces fractions continues séparémenl, (To/rlesn^^ 330 et 334.)