APPLICATIONS DU THÉORÈME DE M. STURM. ^B

/Y. £. — Dans cet exemple, après avoir obtenu les fonctions

X^= 17^' — aSx — 45, X^=i5ix — 3o5,

il n'était pas nécessaire d'effectuer la division de X^ par X3, opération assez longue sous le rapport des calculs numériques.

En effet, ce qu'il importe de connaître dans l'application de la méthode de M. Sturm, ce n'est pas la valeur numérique du dernier reste, mais bien le signe de ce reste, afin d'en déduire ensuite celui de la quantité X^, laquelle est constante, ainsi qu'on l'a vu.

Or on sait (237) que, quand on divise une fonction entière de x par un facteur de la forme x — a^ le reste n'est autre chose que le résultat de la substitution de a au lieu de x dans la fonction. Ainsi le signe du reste de la division de X, par X3 doit être le même que celui qui résulterait de la substitution, dans l'équation Xj= o (ou lyx-— -lix — 45 = o), de la racine donnée par l'équation X3= o (ou \5ix — 3o5 = 0).

Mais l'équation X^ = o, dont les racines sont de signes contraires, donne, pour la positive, 2, 4 à 0,1 près, tandis que la racine de X3= o est

X — %-{ — — • On voit donc que cette racine est comprise entre les deux

racines de l'équation X2= o, et que, par conséquent, si on la substituait dans le polynôme X^, on obtiendrait [\\\ , 1°) un résultat de signe contraire au premier terme de X^, c'est-à-dire un résultat négatif.

Donc, puisque le reste de la division de Xj par X3 est négatif, il s'ensuit que la fonction X^ est positive .

(Cette remarque fait suite à la quatrième du n" 352.)

Troisième exemple :

(i) ix^—iix^-hiox — i^ — o.

Les fonctions X, X,, X^, . . . étant calculées d'après la règle du n° 347, on trouve d'abord, pour les trois premières,

X= 2x^ — i3x^-i- loo,' — 19, X,= 4'^^— 'Sa: -+- 5, Xj^iSx^— i5x -^38.

Or je dis qu'il est inutile d'aller plus loin et de calculer X3 et X,. En effet, il est aisé de voir que les racines de l'équation Xj= o sont imaginaires, puisque l'on a (i5)^— 4.i3.38 <o (111, 3"); d'où il résulte que Xj ne peut changer de signe, quelque valeur qu'on donne à x. Ainsi la quatrième remarque du n° 352 est applicable à cet exemple, et il suffira de considérer les trois fonctions X, X,, Xj,

Or, en subslituant successivement — oc et -f oo dans leur premier terme, on obtient les deux suites

H . . . 2 variations,

co qui démontre que l'équation a dcita: racines réelles et deux racines imaginaires. Les racines réelles sont, d'ailleurs, Yi/ne positive et Vaiitn. négative (342), puisque le dernier terme de l'équation est négatif. Quatrième exemple :

x' — 36.r^-t- yix'^ — 3yx -i- 72 = o.

(Nous nous bornerons ici à présenter le tableau du calcul.)

X= x^ — 30x^-4- yix- — Sy-T-hyi,

X| = 5x*— io8.r'-+- i44''^ — 37, 'K.^= 18^^ — 54r'-f- 'dyx — 90, X,,= iSigj;^— 'i.^^ix — 684, X, = — 2803469 X -+- 32408254, X.= -.

(Le signe de Xj se détermine, comme dans le deuxième exemple, en observant que la racine de X^ = o est évidemment plus grande que la racine positive de X.j = o.)

X ~ — 00 donne 1 h h ... 4 variations,