COMBINAISON DU THÉORÈME DE M. STURM, ETC

tion du n" 3io, laquelle devient très-laborieuse quand les racines sont très-peu difFérentes les unes des autres. Voici en quoi consiste ce moyen :

On substitue a - — h la place de x. non-seulement dans X, mais en'

core dans toutes les fonctions X^,X^, ...; puis on y fait successivement j = 1 , 2, 3, La différence entre les deux nombres de variations résultant de la substitution de deux de ces nombres, ^ et ^ -i- i , est égale

au nombre des valeurs de x comprises entre a -i- j et a -r •

Si cette différence est égale à i , on en conclut que la transformée qui

résulte de la substitution de a h — à la place de x dans X = o n'a qu'une

seule racine comprise entre i et é — i ; et l'on peut facilement (330) obtenir la fraction continue correspondante.

Mais quand cette différence est égale à 2, 3, . . . . on en déduit que la transformée en y a deux, trois,. . . racines comprises entre b et b -hi .

Alors on remplace j- par b -i — dans les fonctions X, X,, X^, . . . (qui

sont déjà exprimées en j) ; puis on y fait successivement z = i , 2, 3, . . . . La différence entre les deux nombres de variations résultant de la substitution de deux de ces nonîbres, c et c -f- 1 , est égale au nombre de valeurs de X comprises entre

I , I «H et a -\

On voit aisément que, par ce moyen, toutes les valeurs de x comprises entre a qI a ^ x pourront se développer en autant de fractions continues ayant, à partir de a, une ou plusieurs fractions intégrantes commîmes.

3oo. Enfin le théorème de M. Sturm conduit très-simplement aux relations qui doivent exister entre les coefficients de l'équation du 3"^ degré pour qu'elle ait ses trois racines réelles.

Soit l'équation x-^-h px -i- rj = o, que, pour plus de simplicité, nous supposerons privée du terme en x-, ce qui est toujours permis (260).

On obtient, pour les fonctions successives X, X,, X^, X3,

X = x^ -i- p.r -h r/, X^= "ix'-i- p, X,^ —ipx—^q, X3= — 4/j'— 2-<7=.

Cela posé, pour que l'équation ait ses trois racines réelles, il faut et il suffit que, en substituant successivement — <x> et -+- œ dans les premiers

488 cHAriTnB viii.

termes de ces fonctions, on obtienne 3 variations par la première substitution, et 3 permanences par la seconde; c'est-à-dire que l'on doit avoir l'une des deux combinaisons

H \ et ,

ou bien

! 1- et -i--i--i--i-,

dont la dernière est la seule admissible, puisque l'équation est de degré impair.

Or il est évident que les deux premières fonctions X, X, donnent respectivement h et -H -(-, par la substitution de — oo et de -+- » , sans

qu'il en résulte aucune condition pour p et q.

Mais pour que X^, X3 donnent également 1- et -i- h-, on voit qu'il

faut: 1° que p soit négatif; 1° que l'on ait — ^p~ — -xj q"^ positif , o\x 4/»'-^- 277' négatif, condition qui renferme implicitement la première.

Ainsi la condition nécessaire et suffisante pour la réalité des trois racines est

4p^-h 27</'< 0, ou H-7<0.

Dans le cas particulier de ^p^ -^ '^l'^r= o, comme on a alors X3= o, il faut nécessairement (347 ) que la proposée ait deiix racines égaies, qu'on obtiendra en annulant X^, ou posant

— inx — iq — o, d ou X — '-'

^ ip

Mais la relation supposée donne /^ =^ — 3 1/7-; d'où, en substituant dans la valeur de x et réduisant,

<fl-

Ainsi deux des trois racines sont éeales à

La troisième est nécessairement — 2 » /-j puisque 1 équation est privée de second terme.

Lorsque l'on a 4;>'-i- lyq'^ > o, une seule racine est réelle, et les deux autres sont imaginaires.

3S6. M. Sturm a étendu son théorème au cas où l'équation proposée admet des racines égales; mais nous n'entrerons dans aucun détail à ce sujet, puisqu'on peut toujours (281) faire dépendre la résolution de l'é-

quation de celle d'autres équations qui n'ont que des racines simples. Il en a également déduit d'autres conséquences fort curieuses, mais qui ne sont pas indispensables pour la résolution des équations.

Nous renvoyons, pour de plus amples détails sur la résolution des équations numériques, aux Ouvrages suivants: Traité de la résolution des équations numériques, par Lag range ; Supplément à la théorie des nombres, par Legendre ; Nouvelle méthode pour résoudre les équations numériques, par M. Budan; Analyse des équations, Ouvrage posthume de Fourier.

On trouvera dans ces deux derniers Ouvrages un théorème qui a quelque analogie avec celui de M. Sturm, et qui paraît avoir été découvert à peu près dans le même temps par MM. Fourier et Budan. En voici l'énoncé :

Soient /(j7) un polynôme entier du degré m,f'{x],f"(x),f"'(x),... ses dérivés. Appelons p et q deux nombres réels de signes quelconques [p étant < 7) , et concevons qu'on ait substitué alternativement p et «/ dans la série de ces fonctions, ce qui donne les deux suites de résultats :

i°Pour/., /(/.), /'(/.), f"{p),...,

a°Pourry, f{q), f'{q), f'{q),....

Le théorème consiste en ce que les signes de la première suite ne peuvent jamais présenter moins de variations que ceux de lu seconde ; et si p et q comprennent un nombre A- de racines réelles, la première suite a au moins h variations de plus (pie la seconde.

Ce théorème, beaucoup moins explicite que celui de M. Sturm, qui, dans aucun cas, ne laisse d'incertitude sur l'existence des racines réelles entre des nombres déterminés, fournit cependant une méthode assez complète de résolution (*).

§ IV. -- Seconde partie de l'élimination.

3o7. Après avoir fait connaître les différents moyens de résoudre, du moins en nombres réels, les équations numériques d'un degré quelconque à une seule inconnue, il convient de s'occuper de la résolution des équa-. lions à plusieurs inconnues; mais nous traiterons plus particulièrement, dans ce paragraphe, le cas de deux équations à deux inconnues en x et /.

(*) Voir aussi, pour le développement de ce théorème et pour les conséquences qu'on en déduit, une Note placée à la fin de la G*' édition de mon Algèbre, et due à M. Vincent, ainsi que les Mémoires de la Société royale de Lille (année i834) et le Journal de Mathématiques de M. Liouville, t. I, p. 3/ji,

4go cn\piTni; viii.

Pour abréger le discours, nous conviendrons de donner le nom de cnvplc ou de solution à tout système de valeurs de x et de y qui, substitué à la fois dans les deux équations, y satisfait.

En outre, désignant par A = o, B = o les équations proposées, nous supposerons que les [)olynômes A et B soient prcjuicrs entre eux, et qu'il en soit de même des coefficients de chacun de ces polynômes ordonnés par rapport à l'inconnue qu'on veut éliminer. Nous nous réservons d'examiner plus loin (363, 364 j les circonstances particulières où ces conditions ne sont pas remplies.

3S8. Cela bien entendu, concevons que l'on ait appliqué aux deux polynômes ordonnés par rapport à j, par exemple, le procédé du plus grand commun diviseur avec ses différentes modifications, lesquelles consistent, (Vune part, à introduire, à chaque division partielle, un facteur, soit numérique, soit Jonction de y, propre à rendre possible la division du premier terme du dividende par le premier terme du diviseur; cr autre part, à supprimer dans les différents restes les facteurs purement numériques, mais en y laissant toutefois subsister les facteurs fonctions de y que chacun de ces restes pourrait contenir (cette dernière condition est indispensable pour l'explication qui va suivre). Nous pourrons alors présenter la série des opérations de la manière suivante :

(2) è.B = Rry' -r-R',

a étant le facteur le plus simple possible que l'on a dû introduire dans A pour que le quotient q soit entier et que le reste R soit d'un degré moindre en x que celui de B; 6 étant un facteur analogue introduit dansB, et ainsi de suite; d étant d'ailleurs le dernier facteur introduit et R'" le reste, que, pour fixer les idées, nous supposerons indépendant do .r.

Voyons maintenant les conséquences auxquelles conduit cette série d'équations.

D'abord il résulte de l'identité (i) que toute solution des équations simultanées A = o, B = o doit annuler ^.A et B<7 (puisque a et 7, ne renfermant pas de dénominateur, ne sauraient devenir injinis), et, par conséquent, aussi R; d'où l'on doit nécessairement conclure que toutes les solutions communes aux équations A = o, B = o conviennent également aux équations

SECONDE PARTIE DE l'ÉLIMIXATION. 49'

Passant à l'identité (2), nous voyons que toute ^o/m^/o/z commune à B = o, R = o doit annuler b.B, R7' et R', et, par conséquent, que toutes les sohiiions de B = o, R = o conviennent également aux équations R = o, R'=o.

En poursuivant ce raisonnement, on verrait que toute solution de R = o, R'=r o convient à R'= 0, R"= o, et enfin à R"= o, R'"— o.

Donc, enfin, toutes les solutions des équations proposées sont renfermées dans l'un quelconque des systèmes d'équations

et dans le dernier système en particulier.

Ainsi l'équation R"'= o, qui, par hypothèse, ne renferme plus que l'inconnue j, comprend toutes les valeurs dejr convenables aux deux équations A = G, B = o.

JSn second lieu, reprenons les identités (i), (2), (3), (4) dans un ordre inverse.

Il résulte de l'identité (4) que toute solution des équations R"=o, R"'= o doit annuler d.W. Or ce produit peut être nul de deux manières, soit parce que l'on a r/ = o, soit parce que l'on a R'= o; ce qui prouve que les solutions de R" = o, R'" = o sont des solutions ou de d = o, R"= o, ou bien du système R'= o, R"= o.

Passant à l'identité (3), on reconnaîtrait que les solutions de R'= o, R"= o sont ou des solutions de c = o, R'= o, ou des solutions de R = o, R'= o; et ainsi de suite, en remontant jusqu'à l'identité (i).

Résumant ce qui vient d'être dit en dernier lieu, on arrive à ce résultat, que les solutions des deux dernières équations R"= o, R"'= o se composent de toutes les solutions qui vérifient les différents systèmes

Ainsi le système des équations R"= o, R"'= o est beaucoup plus général que le système A = o, B = o, dans ce sens que les solutions du premier comprennent, outre les solutions du second, toutes celles qui peuvent satisfaire aux différents systèmes

rt = 0

Concluons de là, enfin, que l'équation R"'= o, à laquelle on est arrive par l'application du procédé du plus grand commun diviseur, contient

49* ODAPITRE YIII.

bien toutes les valeurs de j qui satisfont aux équations proposées en même temps que certaines valeurs de x; mais, généralement aussi, elle doit renfermer des valeurs tout à fait étrangères aux proposées.

Je dis généralement, car il peut arriver, et il arrive même assez souvent qu'aucun des systèmes intermédiaires («=o, B = o), (/> = o, R = o),. . . n'admette de solution, auquel cas R"'= o est la véritable écfuation finale.

Toute la difficulté consisterait donc à trouver un moyen de débarrasser l'équation R"'= o de tous les facteurs étrangers qu'elle peut renfermer. Or il existe, pour cela, différentes méthodes générales plus ou moins laborieuses, dont l'exposition nous entraînerait trop loin; c'est pourquoi nous nous bornerons à les développer sur des exemples particuliers convenablement choisis, qui suffiront pour mettre les élèves en état de traiter tout autre exemple (*).