Soient les équations

(i) A ou j)-.r''— 3 j; -I- I = G,

(a) B ou (j- — x)x^-i- o: — 2 = o.

Conformément au procédé, multiplions le premier membre de l'équation (i) par a ou ( j — i)^, et divisons le produit par le premier membre de l'équation (2); il vient (**) pour quotient

et pour reste

Aûn de continuer l'opération, il faut multipher B par b ou (j)''— 5j-+- 3)' et diviser ce produit par R ; on obtient ainsi pour quotient

(*) La connaissance de ces méthodes ayant cessé de faire partie du programme d'admission à l'École Polytechnique, nous avons cru devoir nous dispenser d'en développer aucune; nous renvoyons, pour cet objet, soit à la 9'' édition de notre Algèbre, soit aux écrits de IMM. Labatie et Sarrus, dont les méthodes sont exposées dans d'autres Ouvrages.

C**) Les jeunes gens sont invités à exécuter, la plume ou la craie à la main, et d'après le procédé ordinaire de la division, tous les calculs que, pour abréger, nous ne faisons qu'indiquer ici.

SECOKDE PARTIE DE l'ÉLIMIXATION. 49^

et pour reste

R' = j>''— ior*-+- 377^— 64j^-t- 57. y — 16; ce qui semblerait donner, pour l'équation finale,

j)*— loi-^-H 37)^— 64j»^H- 52 r — 16 = o.

Mais, avant de rien affirmer, il est nécessaire de considérer le système (fl = o, B — o), c'est-à-dire

Or ce système est évidemment satisfait par j = i, j: = 2 ; et ce couple est tout à fait étranger aux équations proposées.

En effet, si l'on pose dans celles-ci f = i, x= 2, la seconde se réduit bien à o = o; mais il vient, pour la première, 8 — 6h-i,ouh-3 = o.

Ainsi l'équation du cinquième degré obtenue tout à Theure contient [y — i)^ comme facteur étranger.

En divisant son premier membre par [y — ^Y ou ^"' — 2/-t-i, on trouve pour quotient y^ — 8j-^-i- loy — 16.

Quant au système (ô = o, R = o), ou

f(r- 5y-^Zy= o, ( - r--+- 5j- 3):r-f-j'-4j-M .= o],

il est incnwpntible; car les valeurs de r tirées de Z» = o anéantissent le coefficient de x dans R, mais réduisent celui de x" à une quantité numérique.

Nous pouvons conclure de là que la véritable équation finale est

y'' — Sj)"^ -f- 20 )■ — 16 = o.

Cette équation, résolue d'après la méthode des racines commensurables, donne

et si l'on porte chacune de ces valeurs dans le reste du premier degré en X égalé à zéro, on trouve

Chacun des trois couples

(jr = i, J=2), [x^i, 7=2), (x=— X, r = 4), substitué dans les proposées, les réduit en effet à o = o.