DEUXIÈME EXEMPLE

En divisant l'un par l'autre les premiers membres de ces équations, on obtient un certain quotient (qu'il est inutile d'écrire), et un reste du premier degré en x

R = (l2J>-=-r- I2j) Jr -h 4/ -4- 24/^-4- 20J,

OU, supprimant le facteur numérique 4,

Pour continuer l'application du procédé, il faut multiplier le premier membre de l'équation (2) par (3^-^-f- 3J)^ puis diviser le produit par le reste obtenu; ce qui donne un quotient, que nous omettons ici, et un reste qui, débarrassé du facteur numérique 4) se réduit à

R' = ^^-- 3j-*^,i-^- 3/- 2^', ou

A la seule inspection du facteur entre parenthèses, on reconnaît qu'il peut être annulé, soit par j>' = 1, soii par f =^ ■ — i; et, en effectuant la division par [y — i){jr-i-i), ou (j^ — i), on obtient pour quotient .X^-H 3^'-+- 2, lequel, égalé à zéro, donne les deux racines jr= —2, r = — I ; en sorte que, finalement, le reste peut être mis sous la forme

Or je dis que, si l'on pose

on aura la véritable équation finale sans aucun facteur étranger.

En effet, les seuls facteurs étrangers, s'il en existe, ne peuvent être que jet j-i-i, qui ont été introduits dans le cours du calcul. Mais si cous remontons au reste R, nous voyons que les valeurs j' = o, r = — i rendent nul chacun de ses coefficients en x et en x" : ce qui prouve que y = o, j = — I satisfont à R = o, R'= o, quel que soit x.

En substituant successivement ces mêmes valeurs dans l'équation (2), on obtient :

1° Pour j= o,

x^-h ^x -i- 3 — o, d'où x= — I, a?= — 3j

SECONDE PARTIE DE l' ÉLIMINATION.

2° Pour j = — I ,

x'^-i- ix = o, d'où X = o, X = — a : d'où l'on doit conclure que les quatre couples de valeurs (j=o, ^=-1), (jr=o, ^=— 3),

satisfont aux équations B = o, R = o, R'= o, et, par suite, à l'équation

A = o, d'après la relation A = B7 -i- R.

Donc J = o, jj = — I sont des valeurs convenables de j.

Pour obtenir les valeurs de x correspondant aux deux autres facteurs

j — I, j -H 2 de l'équation finale, il ne s'agit que de faire successivement

j = I , j = — 2 dans R -— o ; ce qui donne : Pour j = I ,

6jr-t-i2 = o, d'où x——i^

pour jy = — 2,

6^-1-6 = 0, d'où X——1.

Ainsi les deux équations proposées admettent les six solutions

L'équation finale en x est d'ailleurs

X[X -\- lY[x -r- lY{x +3) =0.

360. Remarque. — L'exemple précédent est susceptible d'une grande simplification sous le rapport du calcul.

Parvenu au reste R, on reconnaît immédiatement qu'il peut être mis sous la forme

Supprimant provisoirement les facteurs y et j + 1 , sauf à en tenir compte plus tard, on obtient le nouveau reste

par lequel il faut diviser le premier membre de l'équation (2), après avoir toutefois multiplié celui-ci par 9.

Il vient pour dernier reste, après la suppression du facteur 4,

49*3 CnAPlTRF. VIII.

qui, égalé à zéro et résolu, donne les deux valeurs 7 = 1, r=^—i.

Ces valeurs étant substituées dans l'équation Sx -\- y -+-5 = 0.

on obtient, pour y = i,

et pour y = — a,

Quant aux facteurs supprimes, j et j -+- 1 , on remonte, comme il a été dit ci-dessus, à l'équation (2), dans laquelle on fait successivement/ = o et / = — 1.

Pour obtenir ensuite la véritable équation finale, il faut multiplier y'^-hf— 1 par les facteurs/^ et (jH-i)^;ce qui donne enQn

Cette remarque suffît pour faire voir comment on doit se conduire toutes les fois que, dans le cours des calculs, on parvient à des restes dont les coefficients renferment des facteurs en y.

Après les avoir supprimés d'abord, on les rétablit ensuite dans le reste final, en ayant soin d'y faire entrer cbaque facteur simple à une puissance marquée par le nombre de valeurs de x qui lui correspondent.

Ces dernières valeurs se déduisent d'ailleurs du reste qui précède immédiatement celui où l'on a opéré la suppression.