TROISIÈME EXEMPLE

Comme ces équations sont du même degré en x^ on peut prendre indifféremment le premier membre de l'une ou de l'autre pour dividende.

Prenons d'abord (i) pour dividende, et multiplions par /* — Sj-i- 2; puis effectuons la division.

Il vient pour quotient jr*, et pour reste

( — 2>y^ -f- Sj-* — Sy^) x -+- ly* -t- 2 j' — 6jr -f- 4. Le coefficient du premier terme de ce reste peut être mis sous la forme

et comme j = o, j = i , j = | ne peuvent annuler iy -+- iy^ — 6j -+- 4, il s'ensuit que le reste du premier degré en x ne contient pas de facteur enj.

D'un autre côté, puisque le coefficient du premier terme de (2), ou y"^— 3j-+- 2, revient à ( j — i) [y — 2), il en résulte que, pour continuer l'opération, il suffit de multiplier le premier membre de (2) par ;■*(/ — i) (3/ — 5)\ Cette préparation étant faite, et la nouvelle division étant effectuée, on obtient un certain quotient (que nous omettrons) et i;n reste indépendant de x, qui, changé de signe, est égal à

27/'°— iSGj"-!- 21 4j'— 1 12^-'-+- 65/^— iooj*-r- 3ojr*— 24 jr'

Il faut maintenant s'assurer si ce reste ne renferme pas de facteurs étrangers. Or. d'après la théorie, ces facteurs ne peuvent être que [y — i) et [y — 2), qui composent le premier multiplicateur introduit.

Comme l'hypothèse j= i, introduite dans le reste du premier degré en X obtenu ci-dessus, le réduit à -f 2, il s'ensuit que j)'— i ne saurait se trouver dans le reste final.

Mais si l'on pose jr = a dans le même reste, et qu'on égale à zéro le résultat, on trouve

— 8j7 -4- 40 = o, d'où .r = 5;

donc [y = "i.^ X = 5) forme une solution étrangère, et le reste final doit renfermer le facteur y — "x.

En le supprimant, on obtient pour quotient

27 j«- 827^^ 5oj'- ,2j«=+ 4ir'- i8j'- 6j'- 36j=-^ 48„r- 16 ,

lequel n'est plus divisible par y — i. Ainsi ce quotient égalé à zéro donne la véritable équation finale.

Traitons le même exemple en prenant (2) pour dividende; et pour cela multiplions (2) parj)-\ puis effectuons la division. Il vient un certain quotient (qu'il est inutile d'écrire), et un reste du premier degré en x, égal à

(3j*— Bj^'-H by'^)x — 2j*— 2J''h- 6/— 4.

Le coefficient du premier terme de ce reste revient à

et comme aucun des facteurs de ce produit ne se trouve dans le second terme, il s'ensuit que, pour continuer l'opération, il faut multiplier (i) parjK'(j-i)H3/-5)».

Als.B. 32

4^8 CnAPlTHE VlII.

Après cette nouvelle préparation, on effectue la division, et l'on obtient, pour reste indépendant de x,

■—{lyf- St. y -f- 5of — 1 2 r« -t- 4 1 x' — 1 8 j* - 6}- — 3 G >' -+- 4 87 — 1 6 ) ,

polynôme qui, égalé à ztTO, donne la véritable équation finale, puisque le premier muUiplicateur introduit, j\ n'a aucun facteur commun avec ce reste.

Nous n'insislerons pas sur la détermination des couples de valeurs qui salisfont aux équations proposées, parce que la recherche seule des racines de l'équation finale serait déjà très-laborieuse; mais cet exemple est remarquable en ce que, suivant la manière dont on commence l'opération, on parvient immédiatement à la véritable équation finale, ou à cette équation embarrassée d'une racine étrangère.

361. Remarque importante sur les solutinns infinies. — En réfléchissant sur la méthode exposée n" 3o8, on reconnaît sans peine que les raisonnements qu'elle comporte ne s'appliquent qu'aux, solutions des équations en quantiiés finies, réelles ou imaginaires. Quant aux solutions infinies auxquelles donnent lieu certains systèmes d'équations, il est toujours facile de les découvrir, soit à la fin des opérations, soit dans le cours du calcul, soit enfin en remontant aux équations elles-mêmes, ainsi qu'on va le voir sur les nouveaux exemples que nous allons traiter.