CINQUIÈME EXEMPLE

50O CnAPITRE VIII.

Cet exemple donne, pour reste de la première opération,

Supprimant le facteur — (j— i), et divisant le premier membre de (2) par X -h\, on trouve pour reste final

La valeur y = — 2, substituée dans a: -t- i = o, donne x = — i .

Quant à la valeur y = 1, tirée du facteur j — i égalé à zéro, en la substituant dans le diviseur de la première opération, c'est-à-dire dans l'équation (2), on obtient

o.jr^-i-o..r-t-3 = o,

ce qui donne deux valeurs infinies pour .r. Et, en effet, la même valeur j = i, reportée dans l'équation (i), donne

qui admet également deux valeurs infinies.

Ainsi les équations proposées admettent d'abord un seul système de valeurs 7?«/>.<-, y = — 1, x — — i, puis deux sj'^stèmes de valeurs, /inies pour / et infinies pour .r, savoir ( r = i, j: = oo ), (j = i, j? = oc ).

En général on obtient les systèmes de valeurs finies pour l'une des inconnues, et infinies pour l'autre, d'après l'inspection des équations proposées, en les ordonnant alternativement par rapport à chaque inconnue. On voit alors si quelques-uns des coefficients de l'inconnue par rapport aux puissances de laquelle les polynômes sont ordonnés peuvent être annulés pour la même valeur de l'autre inconnue.

C'est ainsi que le système des équations

y'' X- — X — 3 = 0, yx^ — "iyx -i- 4 = o,

outre les solutions ordinaires en nombres finis, admet les deux couples

(r = o, .r=co), (j; = o, /= co) (*).

362. Jusqu'à présent nous avons supposé que, en appliquant la méthode d'élimination avec toutes ses modifications, on soit conduit à un res;e final fonction de y\ mais il n'en est pas toujours ainsi, et la dernière di-

( * ) C'est surtout dans la Géométrie anafytique à deux dimensions que la considération de ces sortes de solutions in/înies est importante. Elles correspondent, soit à des branches de courbes qui se rencontrent à l'infini, soit à des courbes qui ont des asymptotes communes.

SECONDE PARTIE DE l'ÉLIMINATIOK. 5o I

vision que comporte le procédé donne quelquefois lieu, soit à un reste numérique, soit à un reste nul. Examinons ces deux cas successivement. Premier cas. — Reste numérique différent de zéro.