SIXIÈME EXEMPLE

(i) yx^— [r— 3j — i).r -+- r = o,

(2) x'^ — jr" H- 3 =^ G.

La première division donne pour quotient j^, et pour reste x -+- j.

Dans la seconde, le quotient est x — y, et le reste -f- 3.

Ce résultat prouve que les deux équations sont incompatibles, c'està-dire qu'elles n'admettent aucune solution en nombres ^«w.

Et, en effet, comme, en appliquant aux deux polynômes proposés le procédé du plus grand commun diviseur, on obtient un reste numérique avant aucune substitution particulière faite pour j, il s'ensuit que le même procédé, appliqué aux deux polynômes en x qui résulteraient de Id substitution pour 7, d'une valeur particulière quelconque, donnerait lieu au même reste numérique ; d'où l'on voit qu'aucune valeur de f ne saurait introduire de commun diviseur en x, condition qui cependant (267) est inséparable de toute valeur convenable de y.

Dans l'exemple précédent , l'incompatibilité des deux équations peut aisément être mise en évidence; car il résulte de la première opération que l'équation (i) peut être mise sous la forme

{x- — f^-^3)Xx -^x-i-j'= o,

équation qui, eu égard à l'équation (2), se réduit à

a: -f-^ = o ; d'où l'on tire

{x -h j) {x — j) , ou x- — j-=o.

Or ce dernier résultat est évidemment contradictoire avec

tant que x et y sont des quantités,^/?/^'^-.

N. B. — Il est important d'observer que, dans le cas qui nous occupe, il n'y a incompatibilité entre les équations proposées qu'autant qu'il n'y a pas eu de facteur en y supprimé dans les différents restes ; car on sait qu'en général à ces facteurs supprimés correspondent des couples des vdXQVLVè finies pour x et pour /, dont il faut tenir compte à la fin de l'opération.