Second cas. — Reste nul

SEPTltllE EXEMPLE.

(i) x'- (3j-t-5)j:'-^(3j'+ioj-i-6)x-j'— 5j'— 6/= o,

(2) or'— 5jx'-+- (8j'-— i):r — 4j'7+-7 = o.

En appliquant à ces deux équations le procédé ordinaire, on obtient successivement les deux restes

(3) (2j-5)^'-(5j=-ior-7)a7 + 3j'-5j'-7J,

[y^ — ioj^-+- 35j'— 5oj-+- 24)0: — Jr'^-IOJ*— 35jr'-r- 607'— a4j,

ou

(4) (j"— IOj'h- 357'- 507 H- 24) (X — 7).

Supprimant, dans ce dernier reste, le facteur en y qui s'y trouve en évidence, puis divisant ( 3 ) par j: — 7, on obtient un quotient exact et égal à

ce qui prouve que {x — y) est diviseur commun aux premiers membres de (i) et de (2).

En effet, la division étant essayée, on reconnaît que ces équations peuvent être mises sous la forme

[jt'— (a7-i- 5)x -f-7' -H 57-+- 6] [x — y) = o, (j:'— 4.r7-t- 47' — i) (jc— 7) = o,

et qu'ainsi elles sont indéterminées. Elles rentrent dans le cas qui a été examiné (268).

Si Ton supprime le facteur x — y qui les rend indéterminées, et qu'on

pose

x"^ ~ [-xy -^- S)x -H7*-f- 5 )" +6 = 0,

on peut demander les solutions (en nombre limité) communes à ces nouvelles équations, lesquelles solutions appartiennent également aux équations proposées. Or je dis que, pour obtenir l'équatioTi finale et le reste du premi.^r degré en x, qui correspondent aux nouvelles équations, on peut faire usage des calculs précédents.

Pour nous rendre compte de cette circonstance d'une manière générale, appelons A et B les premiers membres des deux équations proposées ; et soient A = A'D, B = B'D, D étant un facteur commun en x et 7, ou bien en x seulement.

SECONDE PARTIE DB l'ÉLIMINATIOK. 5o3

En appliquant d'abord aux deux polynômes le procédé ordinaire, OQ trouvera une première série de quotients, et une première série de restes, lesquels restes contiendront également le facteur commun ; mais si l'on supprime ce facteur dans A et dans B, qu'on veuille ensuite agir sur les polynômes résultants A' et B', on retrouvera nécessairement les mêmes quotients, et des restes qui ne différeront de ceux de la première série d'opérations qu'en ce qu'ils ne contiendront plus le facteur commun. Donc le dernier reste, entre autres, de la seconde série d'opérations ne différera du dernier reste de la première série que par l'absence du facteur commun.

Ainsi déjà le premier membre de l'équation finale qui correspond à A' = G, B' = o nest outre chose que le dernier reste de la première série d'opérations, débarrassé du facteur commun à k et àB\ c'est le facteur commun en y qui existe entre les coefficients de ce reste.

Dans l'exemple précédent, ce facteur est

j'-—ioy — 35j=— 5oj-i- 24.

Quant au reste du premier degré en x de la seconde série d'opérations, il doit être égal à Pavant-dernier reste de la première série, divisé par le facteur commun: c'est donc le dernier quotient (5) de la première série, ou bien

L'équation

jr' — loj'^ -i- 35 r^ — 5ojK -i- 24 = o,

étant résolue d'après la méthode des racines commensurables, donne pour valeurs

Substituant alternativement chacune de ces valeurs dans le reste du premier degré en ^, et résolvant ce reste égalé à zéro, on trouve, pour les valeurs de x correspondantes,