HUITIÈME EXEMPLE

(1) ^r^— (3j — i).r^-i- {j'""— ir)x-^y''-^y= o,

On obtient d'abord, pour reste du second degré, changé de signe,

(3) 'i.yx'—{f — y — \)x-f—y^\,

5o4 CHAPITRE VIII.

et pour reste du premier degré

(/* — 5j'h- ly — i)x -h )-* — 5r"-+- ly - - 1 , ou

Supprimant le facteur en j qui se trouve dans (4), puis divisant (3j par [x -\-i), on obtient un quotient exact et égal à

(5) 2jjr— j = — jH-i;

d'où l'on peut conclure que ^ -h i est diviseur commun des deux proposées. Ces équations, débarrassées du facteur (x ■+- 1), se réduisent à

x'' — ^J^ -î- J'' ^- J = o , x'' — xy -+- i = o ;

et la question est ramenée à trouver les solutions communes à ces nouvelles équations.

Or, en appliquant la règle qui a été établie plus haut, on trouve pour équation finale

j* — 5j^ -f- aj — I = 0

[c'est le facteur en j qui se trouve dans (4)], et pour l'équation du premier degré en x correspondante le reste (5) égalé à zéro, c'est-à-dire

ifx — r" — j -h I =^ 0.

La première de ces deux équations n'admettant pas de racines commensurables, il faudrait y appliquer la méthode des racines incommensurables : après quoi l'on substituerait chacune des valeurs de y obtenues dans la seconde équation, laquelle donnerait alors les valeurs de x correspondantes.

364. Pour compléter l'analyse du numéro précédent, il nous reste à examiner le cas où, les premiers membres des équations proposées étant ordonnés par rapport à l'inconnue qu'on veut éliminer, j>- par exemple, les coefficients renferment un facteur fonction dey [voir n" 268).

Soient toujours A = o, B = o les équations proposées; et supposons en premier lieu que A seul renferme un facteur F, fonction de /; en sorte que l'on ait A = A'x F.

Comme chacune des valeurs de y tirées de F = o satisfait nécessairement à A = o, quel que soit x, il s'ensuit que, si l'on substitue successivement ces valeurs dans B = o, et qu'on détermine les valeurs de x qui correspondent à chacune de ces substitutions, on obtiendra autant de couples de valeurs de j: et de ^ propres à vérifier simultanément les équations A = o, B = o.

SECONDE PARTIE DE l'ÉL1MI>'ATI0N. 5o5

En d'autres termes, le système des équations ( A = o, B = o) peut être remplacé par les deux systèmes

en sorte que, si l'on appelle Y = o l'équation 6nale correspondant au système (A'= o, B = o), l'équation

YxF==o

est l'équation finale correspondant au système proposé, en ce sens qu'ello fournit toutes les valeurs convenables de jet n'en donne pas d'étrangères.

(Il est bien entendu d'ailleurs que, parmi ces valeurs de j, se trouvent comprises celles auxquelles il correspond des valeurs de a: infinies. Ainsi, par exemple, dans le cas où uii facteur j — 6, appartenant à F, entrerait dans un ou plusieurs des premiers coefEcients de B, il s'ensuivrait que, pour cette valeur de /, on obtiendrait une ou plusieurs valeurs infinies de X.)

En second lieu, soient

A = A'xF, B==B'xF',

F et F' étant premiers entre eux.

On démontrerait, comme ci-dessus, que le système des équations ( A :== o, B = o) peut être remplacé par les trois systèmes

Ainsi l'équation Y x F x F' = o est l'équation finale qui correspond aux équations proposées.

Troisièmement, enfin, soient

A = A'xF, B = B'xF',

F et F' ayant un facteur commun, fonction de j.

Appelons <p ce facteur commun et /, /' les quotients respectifs de F F', divisés par tp. Les équations proposées sont alors de la forme

A'x/xo = o, B'x/'x<p = o,

et peuvent être satisfaites par chacune des valeurs de/ tirées de ^ = o. en même temps que par une valeur quelconque de x\ donc elles sont indéterminées { 208 ) .

Mais, si l'on supprime ce facteur o qui les rend indéterminées, on obtient les nouvelles équations

5o6 CHAPITRE VIIU

auxquelles correspond alors réquation finale

Yx/x/'=o

(Y = o étant l'équation finale relative à A'= o, B'= o).

3Gij. Nous terminerons le paragraphe de l'élimination par deux exemples oij les premiers membres des équations proposées peuvent être décomposés à priori en facteurs, les uns fonction de x ow de j seulement, les autres fonction de x et de y à la fois, auquel cas la détermination des coiqdes devient beaucoup plus facile que par la méthode générale.