DIXIÈME EXEMPLE
{yx-Q]{x'—i) = o, (ix — 3r) (x- —y'^) = o.
Ces équations reviennent à celles-ci :
[jx— 6) {x — i) (^-Hi) = o, (2x — 3j) (.r— j) i^-i-r) = o;
et, en combinant successivement chacun des trois facteurs de la première avec chacun des trois facteurs de la seconde, on obtiendra neuf systèmes d'équalions dont l'ensemble peut remplacer le système proposé.
Combinons, par exemple, les trois facteurs de la première équation avec le premier facteur de la seconde, ce qui donne les systèmes
[yx — 6 = 0, IX — 3j)'=:o), (x — 1 = 0, ix — 3^ = 0), (^-r-i = o, 2.x — 3>'=o);
on trouve, pour le premier système, les deux couples
puis, pour le deuxième et le troisième respectivement,
(j=|,^ = i) et (r=-|, x=-iy
5o8 CnAPlTRE VIII.
Combinant de môme les trois facteurs de la première équation avec le second, puis avec le troisième facteur de la deuxième, on trouve
(r=+I, Jr=+I), (j=r I, . X=-l),
ce qui donne encore douze solutions.
ZV. B. — On voit, par les .deux exemples précédents, comment on peut former à priori des systèmes d'équations susceptibles d'admettre des solutions données.
Application de la théorie de l'élimination à la résolution des équations irrationnelles à une seule inconnue.
366. Toutes les fois qu'une équation renferme des signes radicaux où l'inconnue se trouve engagée, la théorie de l'élimination fournit un moyen facile de la résoudre.
Prenons pour premier exemple l'équation
(1) X'-i-yG: — i8 = o.
On pourrait d'abord, en transposant a-— i8 dans le second membre, et élevant au carré, faire disparaître l'irrationnalité; ce qui donnerait
or = (18 — x'^Yi ou x' — 36x- — j- -H 324 = oi
et il ne s'agirait plus que d'appliquer à cette dernière équation les mcthodes connues de la résolution des équations numériques.
Mais il est plus simple d'opérer comme il suit :
Posons
y(r = r, d'où .r = j)'^ ;
il vient, par la substitution dans l'équation (i),
équation qui, résolue, fera connaître les valeurs de/ et, par suite, celles de .r d'après la relation x = j> ^
Or, si l'on applique à l'équation (2) la méthode des racines commensurables (320), on reconnaît facilement que 2 est racine, et que c'est d'ailleurs la seule racine commensurable qu'elle renferme.
De j-= 2 on déduit x = (2)'= 4- Ainsi 4 est une racine commensurable de l'équation (i), et c'est la seule qu'elle puisse avoir.
ÉYANOL'ISSEMEXT DES RADICAUX DANS LES ÉQUATIONS, ETC. 5oC)
Si cependant on voulait obtenir les autres, il faudrait encore avoir recours à l'équation (2), qui est beaucoup plus simple que l'équation en X.
L'équation (2), n'offrant qw'iinr variation de signe, a une seule racine positive : c'est celle qu'on vient d'obtenir; et si l'on y change r en — r, il vient j-* — / — 18 = 0, équation qui présente également uae seule variation de signe.
D'où l'on peut conclure que l'équation {2) a deuj: racines réelles, l'une positive, l'autre négative, et c/eitx racines imaginaires. Mais la relation X = y^ prouve que les deux racines réelles de léquation (i) sont positives.
On peut s'assurer aisément que la racine réelle négative de l'équation {2) est comprise entre — 2 et — 3 ; et on l'obtiendrait en appliquant l'une des méthodes d'approximation.
Soit encore l'équation
(1) \/ X -X- ^ ■ — \Jx-^i = o\ et posons
il en résulte
(2) x-;-9 = j*, x-^i — z^, et J-— 2 = 0,
dont la dernière, donnant y — z, ramène le système des trois équations aux deux suivantes :
.r H- g = z', or H- I = z^.
L'élimination de z entre ces deux-ci, d'après le procédé ordinaire, conduirait à l'équation finale en x^ mais, comme l'inconnue x n'entre qu'au premier degré, il est plus simple de l'éliminer.
On trouve, en effet, par la soustraction.
équation qui, traitée par la méthode des racines commensurables, est satisfaite par z = i.
Portant cette valeur dans l'équation x -i- 1 = z^, on obtient a: = 7 ; ce qu'on peut vérifier en substituant cette valeur dans l'équation (i).
On prouverait, comme dans l'exemple précédent, que l'équation
a une seule racine positive [z — 2), une racine négative incommensurable comprise entre — i et — 2, et deux racines imaginaires.
5lO CHAPITRE VIII.
N. B. — On pourrait obtenir directement l'équation en x privée de radicaux. Il suffirait, pour cela, de transposer l'un des termes de l'équation (i) dans le second membre, puis d'élever les deux membres à la douzième puissance; il viendrait ainsi
(u--t-9) ^. (ur-f-i)',
OU, effectuant les calculs et réduisant,
x^ -r- Zoc? — 2ix' — iZçjX — 728 = 0;
mais cette équation est beaucoup moins simple que l'équation en z. Soit, pour troisième exemple, l'équalion
Posons
2j:-+-i7=j', 7J?-i-i = 2^; d'où y — z -f- 3 = o.
On tire de la dernière
d'où, substituant dans la seconde,
ou développant et réduisant,
équation qui, com.binée avec la première, j^— o-x — ly = o, par voie d'élimination, donnera, soit l'équation finale en x, soit l'équation finale en/. Mais comme x n'entre qu'au premier degré dans ces deux dernières équations, il est plus simple de former l'équation en y. On obtient, tout calcul fait,
En appliquant à cette équation la méthode des racines commensurables entières (320), on reconnaît que/= 3 est une racine; ce qui donne,
d'après la relation x = • — ; — ,
X = 5, valeur qui, substituée dans l'équation (i), la réduit à V'27 — v/36 -f- 3 = o, ou 0 = 0. Si nous divisons le premier membre de l'équation (2) par r— 3, il
ÉVANOUISSEMENT DES RADICAUX DANS LES ÉQUATIONS, ETC. 5ll
vient pour quotient yjr^H- igjr -+- 45 = o, dont les racines sont évidemment imaginaires.
3G7. Remarques. — i" Les transformations qui ont pour objet d'obtenir directement l'équation en x privée de radicaux, et qui consistent à transposer certains termes, puis à élever ensuite les deux membres à des puissances plus ou moins grandes, suivant le degré des radicaux qui entrent dans l'équation, entraînent généralement dans des calculs fort compliqués, et celte méthode est même en défaut dès qu'il entre phfs de deux radicaux. *
Au contiaire, en égalant successivement chacun des radicaux à une inconnue auxiliaire, on parvient toujours à un système d'équations rationnelles en x, y, z, «, au moyen desquelles on peut, par la méthode d'élimination, obtenir une équation finale fonction de l'une des inconnues auxiliaires. En résolvant cette équation, et remontant à l'une des relations établies, on en déduit facilement la valeur ou les valeurs correspondant à celles qui ont été obtenues pour l'inconnue auxiliaire.
■x" Quant au degré de l'équation finale en x, il est déterminé (sans qu'on soit obligé de la former) par le nombre de valeurs de x qui correspondent aux solutions de l'équation finale sur laquelle on a opéré.
Nous proposerons comme exercices les exemples suivants :
équation finale en j,
ce qui donne et, par suite,
L'équation finale en x est du troisième degré.
équation finale enjr,
d'où l'on déduit
j = 3, et a racines imaginaires,
et, par suite,
j: = 3, et 2 racines imaginaires.
5l2 CnAPITHE Yiir.
équation en 2,
2"— 9^^— laz'-t- 48z; — 40 — o, [z ~ i^ d'où .r = 3).
équation en j,
y^ — i6j'-+- 24^'" H- 272J'' + i536>V^- 4096 = o, (j= 4, d'où X ^ 8).
;>" y/x- — I — \Jx -f- 1 = O ;
équation enj)-,
(j=o, 7=2, jr= — I, d'où xi: — I, j: = 3, ^ = 0).
N. B. — Il est remarquable que ce dernier exemple offre trois solutions entières.
§ V. — RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS A DEUX TERMES PAR LA TRIGONOMÉTRIE. DÉCOMPOSITION DES FRACTIONS RATIONNELLES EN FRACTIONS SIMPLES (*).
Des équations à deux termes.
Nous avons déjà résolu (167 et 200) plusieurs espèces d'équations à deux termes. Nous nous proposons actuellement de les résoudre toutes complètement ; mais auparavant il est bon de faire quelques remarques sur la nature de leurs racines.
3fi8. On appelle équation à deux termes toute équation qui ne renferme
qu'une seule puissance de l'inconnue, avec des quantités toutes connues.
Il résulte de là que toute équation à deux termes peut être ramenée à
la forme
(*) Les deux théories qui doivent faire l'objet de ce dernier paragraphe se liaient plus naturellement, l'une avec le Chapitre IX, l'autre avec le Chapitre X ; mais comme elles font actuellement partie du Trouranime d'admission à l'École Polytechnique, nous avons cru devoir les placer immédiatement à la suite du Chapitre VIII.
REMARQUES SDR LES ÉQUATIONS A DEUX TERMES, ETC. 5l3
p étant un nombre absolu ; et si l'on pose x = y"\lp ., il vient
py"' ±p = o, d'où j"'±:l = G,
Ainsi c'est de la résolution de cette dernière équation que dépend celle de toutes les équations à deux termes.
Comme l'équation j"— i = o revient à j"' = i, on voit que tout se réduit à trouver pour y les expressions huiuérUpies ou algébriques qui, élevées à la n{""' puissçnce, peuvent produire l'unité. C'est pour cette raison que les racines de l'équation j)-"'— i = o sont appelées les racines de r unité.
Les racines de l'équation j^-t- i = o, ou j"" = — i, sont dites les racines de Vanité négative.
Cela posé, voici les remarques qui doivent précéder la résolution de ces deux sortes d'équations.
369. Premièrement. — L'équation y"' — i = o a une seule racine réelle si m est impair, et deux racines réelles si m est pair.
Soit d'abord m un nombre impair. Comme l'équation n'a qvîune vaiiatinn de signe, elle n'admet (31o) qu'une seule racine positive, qui est -t- i. Il est d'ailleurs évident qu'aucun nombre négatif ne peut y satisfaire.
Lorsque m est pair, -t- i et — i vérifient l'équation et sont les seuls nombres qui puissent y satisfaire ; car elle ne présente qu'une variation de signe, soit dans son état actuel, soit lorsqu'on y change r en — y.
Deuxièmement. — L'équation ^r'"-+- 1 = o a une seule racine réelle si m est impair; et toutes ses racines sont imaginaires si m est pair.
D'abord, quel que soit m, l'équation, n'offrant pas de variations, ne peut avoir aucune racine positive.
Ensuite, quand m est pair, le changement dejr en — jrne produit encore aucune variation ; ainsi, dans ce cas, l'équation n'admet ni racine positive ni racine négative.
Mais, si m est impair, l'équation est satisfaite par j = — i ; et c'est la seule racine négative, puisque le changement de y en — r ne produit qu'une variation.
Troisièmement. — Les racines de l'équation j-'"— i = o, ou de l'équation.;"'-!- I = o, sont toutes inégales ; car le polynôme dérivé du premier membre, ou my""^ , n'a aucun diviseur commun avec /'" — i ou y"" -;- i .
370. Quatrièmement. — i" Si a désigne une quelconque des racines imaginaires de l'équation y'"—i = o, on a également a.P pour racine de cette équation [p étant un nombre entier quelconque positif ou négatif).
Mg. £. 33
5ï4 CHAPITRE VIII.
Car, puisque a vérifie l'équation, on a i'égaiité a'"=i, d'où (a'")P:=l, égalité que l'on peut transformer ainsi
d'où l'on voit que otP est aussi racine do l'équation. Donc, a étant une des racines imaginaires de l'équation /'"— i = o, on a également pour racines
lY. B. — Plusieurs de ces puissances rentrent nécessairement les unes dans les autres; autrement l'équation aurait plus de m racines. Et en effet, soit, par exemple, l'équation
Si a est une racine imaginaire, on a l'égalité
a? — I = G, d'où sc'=i;
et ainsi de suite.
2° Si a désigne une quelconque des racines imaginaires de ^équation y'"-{-i= o, aP est aussi racine lorsque p est un nombre impair quelconque, positif ou négatif.
En effet, de l'équation a'"= ~ i on déduit [u^Y — — i, puisque, par hypothèse, p est impair. Or cette égalité revient à
donc aP est racine de la même équation. Ainsi
sont des racines de l'équation /""h-i = o.
Résolution de V équation y'" — l = o.
371 . Cette résolution repose sur une formule trigonométrique que nous allons d'abord faire connaître.
Si l'on multiplie entre elles les deux expressions
cos« -+- sm^v/— I fit cos i H- sin ô /— I ,
RÉSOLUTION COMPLÈTE DE l'ÉQUATION J""— I = O. 5iÔ
on a pour produit
cosa cosb -i- (sina cos^ ■+• sinb cosa) y/— i — sina sinb; donc, à cause des formules
cos{a -H è) = cosrt cosb — sinflsinè,
sîn(a -h b) = sinrt cosb -+- sïnb cosa, il vient
(cosfl -+• sin<7y/ — 1 ) (cos^ -+- sine \/—i )
= cos(rt ~h b) -h s\n{a -+- b)\/—i .
Soit a -i- b = a', et multiplions
cosrt'-K sin«'v/ — I par cosc -t- sincy/— i ;
on trouvera de même
(cosa'-i- sina' \/—i ) (cosc -+- sine /— i) = cos («'-+- e) -+- sin («'-i- c) / — i ,
et, par conséquent,
(cosa H- sinr/y/— i) (cos6 -+- smb\/—i) (cosc -+- sine y/ — i) = cos(« -h b -h c ) -h sïn [a -i- b -i- c)\/—i .
En général, soit un nombre m d'arcs a, i, c, ...,/; on a évidemment le résultat suivant :
(cosrt -f- s'mar/—i) {cosb -+- sin^v^— i). . .[cosl-i- sin/v/— ij = COS{a -r- b -i- c -h . . .-i- l) -i- sin {a -h b -t- c -i- . . . -h l) \/— i .
Supposons maintenant a = b = c = . . .= l\ il en résulte
rt-t-Z'-i-r-i-, ..-)-/= ma, d'où
(i) (coSrt -H sinrt v/ — I )'" = cos ma -4- sin ma \J —i.
Cette formule étant vraie, quel que soit l'arc «, on peut remplacer a par — « ; et si l'on se rappelle que cos( — a) — cosa, sin { — a) — — sina, il en résulte cette nouvelle formule
(a) (cosa — sina /— i )'" = cosma — sin ma \J— i .
On sait encore que, a^^ désignant une circonférence de cercle, i lo
5l6 CHAPITRE VIII.
rayon, et A- un nombre entier quelconque, on a (3) cos2/-7T- = i et s'\ni/.T: =-- o,
372. Cela posé, il résulte évidemment des formujes (i), (a), (3)
( cos - — - ± sin — - t/— I I = cosiAtt ± sinaZ-Tr \/—i — i ; \ m m )
d'où l'on voit que, quel que soit le nombre entier /•, l'expression
cos ± sm V — I
jouit de la propriété d'être une racine m''"" de l'unité, c'est-à-dire de satisfaire à l'équation j™— i = o.
Pour obtenir les différentes racines, il ne s'agit que d'attribuer à /• les valeurs o, i, a, 3,..., puis de calculer, au moyen des Tables trigono-
métrifjues, les valeurs correspondantes de cos et de sin •
Discussion. — Puisque / désigne un nombre entier tout à fait arbitraire,
•1 1,1 1, • CO&lfcn: SlXllkit , , . , „„.„„
il semble que 1 expression y — ± \ —^ doive présenter
une infinité de valeurs; mais nous allons voir qu'elle ne fournit réellement que m valeurs différentes.
Donnons d'abord à /• toutes les valeurs entières comprises depuis zéro
jusqu a inclusivement si m est impair, et depuis zéro jusqua —
aussi inclusivement si m est pair; il viendra par ces substitutions, pour /■ = o, j' = cos o dz sin o \l — i = i ; A- = I , Y = COS — ± sin — \j — I ,
, An . ÂTZ ,
h — 'î.. r=cos — di sin — \~'^^
A- = 3 T- = cos — ± sin — V — I >
enfin, si m est impair,
m — I (/?? — iIt: , . (/« — Ott ,
pour k = — ■ — ) X = cos — ± sm y — i .
RÉSOLUTION COMPLÈTE DE l'éQUATION /" — I = O. SlJ
et si m est pair,
pour A- = — 7 y= cosTr ± sinTi- y — i = — i .
Ce tableau donne toutes les racines de l'équation.
En etfet, \° lorsque m est impair, chacune des valeurs A- = i , 2, 3, . . . ,
fournissant deux racines pour j, le nombre total de ces valeurs
donne nécessairement 2 ou (/« — i) racines; d'ailleurs k~o donne
la racine i. Ainsi le nombre des racines fournies par /• = o, 1 , 2, 3, . . . , — ; est m. Toutes ces racines sont essentiellement différentes, car
les arcs o, — 1, i-^, . . , ^ '—, étant moindres que - (ou lademi-
circonférence), ont au moins des cosinus différents.
ni 2° Lorsque m est pair, les deux valeurs extrêmes a- = o et k = —
fournissent les deux racines -+- 1 et — 1 . D'ailleurs les valeurs intermédiaires X- = i,2, 3,..., ( — — i) donnent chacune deux racines; donc le nombre total des racines qui correspondent à /- = o, i, 2,..., (-; ij, — est exprimé par 2 -f- 2 ( -^ ih c'est-à-dire par w; et
ces racines sont essentiellement différentes, par la même raison que cidessus.
On voit d'ailleurs que, pour une même valeur de k, autre que X- = o si
m est impair, et autre que /- = o, X- = — si m est pair, les deux racines
imaginaires qu'on obtient sont conjuguées, en ce sens que, p -^q \J — i étant l'une de ces racines, on a /> — </ v/— ^ pour la seconde racine (*) .
En outre, ces deux racines sont réciproques l'une de l'autre (299), puisque l'on a pour leur produit
ik-r . 2X77 cos r- sm
, \ / 2/;- . ikTZ ^\
i/— I cos sm \/—i
= cos^ h sm
m ni
(*) Celle propriété n'est qu'un cas particulier de celle qui sera démoutrée dans le Chapitre IX.
5l8 CHAPITRE viir.
n nous reste maintenant à faire voir qu'en attribuant à -t de nouvelles
valeurs plus grandes que 5 ou — » on retombera sur les mêmes ra-
cines.
Soit d^ abord m un nombre impair; et supposons k — ^^^
n étant un nombre entier positif quelconque. Il vient
(m-^2/^ — 1)7: , . [m-^in — iW ,
r — cos ^ ^— ^ d: sm ^ — v — i ,
OU
[{-in —\)-n'\ . f (2« — i)7t"1 /
or je dis que ces valeurs sont identiques avec celles qui correspondent à
A- = [n — \). ou
En effet cette dernière valeur de /• donne
/= cos-^^ ± sm- — \J — i,
ou bien
Mais on sait que, pour deux arcs, tt -)- a- et t. — a^ l'on a
cos(7r -i- a) = cos(7r — o) et sin(7î- -4- fl) =r — sin(7T — ff); d'oi» l'on conclut
r [%n — \]t:~\ r (2/1- — i)rrn cos 77 -f- — L. = ces 77 — ^^ — ,
t (2/? — 1)77"! . r (in — \\t:'\
Donc les deux racines qui correspondent à k = 1- n sont iden-
tiques avec celles qui correspondent à k = 1- // — i : la seule différence consiste en ce qu'on trouve les deux racines dans un ordre inverse.
RELATIONS ENTRE LES RACINES DE l'ÉQUATION J" — 1 = O. 5l9
Si m est pair, soit encore fait /■ = h- // ; il en résulte
y = CCS ± sin \J — \ ,
ou bien
J= COS (^.r + -j ±sm (^.-1- — ) v/-i.
Mais, pour k = /?, on avait déjà obtenu
j = cos(^.:-— j±sm(^.-— jv/-i; donc, à cause de
f 'i.nv:\ f ■i.nT:\ ces 77 H = COS TT 5
et de
(2/Z7r\ . / in-\
TT H 1 = — Sin 7T — - — - ,
les valeurs de y correspondant à A- = \- n sont identiques avec celles
qui correspondent à X- = n.
Donc, enfin, le tableau des valeurs que l'on a obtenues pour A- = o, i , 2, 3,..., ) ou —5 renferme toutes les racines de y""— i = o,
quel que soit m. %
Relations entre les racines de l'équation y^ — i = o.
373. En jetant les yeux sur le tableau des valeurs de j qui correspondent aux diverses hypothèses X- = o , i , 2 , 3 , . . . , et en se rappelant la
formule
(cosa + sina v/ — A"^ — cosnia -h slnma \/—i ,
on voit que
47r .4^ / / 2 7r . 2Tr ,
cos i- sm — \/~i= cos i- sin — v — i
m m \ m ni
Gtt . Gtt , / 2 7r . 2 7r ,-
cos h sm — i/— I = cos f- sm — v/ — i ) j
cos 77 -+- sm 77 v/— I = cos h sm — y — i
520 CHAPITnE VIII.
si m est impair; et
in.
C0S7Î- -H sinvr \1— I = ( cos — -i- sin — i/— i ) , * \ /« m ^ j ^
si /w est pair.
Donc, si l'on désigne par a la première racine imaginaire
COS h sm — yJ — 1 ,
toutes les racines du tableau déjà cité, correspondant au signe supérieur, peuvent ctre représentées par
a", a', a', a^ .. . , a ^ , OU a^; quant aux racines qui correspondent au signe inférieur, comme elles sont
les réciproques des précédentes, depuis a jusqu'à a ^ si /?^ est impair,
et jusqu'à a ^ si m est pair, on peut, en les écrivant dans un ordre inverse, et ayant d'ailleurs égard à la relation a"' = i , les présenter ainsi :
oT^ ou a~^, . . . , a'"-% a"'-=, a'"-'.
D'oîi l'on peut conclure enfin que, a désignant la première racine imaginaire, toutes les racines de l'équation j'"— i = o peuvent être représentées par ...
a", a', a%..., oT^ ou a~^~,..., a""-^, a"'-=, a"'-',
série dans laquelle les exposants ne sont autre chose que les nombres entiers compris depuis zéro jusqu'à m — i.
374. Remarque importante. — Cette propriété, dont jouit l'une des racines imaginaires, de reproduire toutes les autres par ses diverses puissances, n'appartient généralement qu'à la première racine
cos h sm — W — I ,
m ni
ou à sa conjuguée
COS — ■ — sin — V — I ■ m m
On a bien prouvé (370) que, a étant une racine imaginaire quelconque, x' est aussi une racine de l'équation ; mais il n'est pas toujours vrai de
RELATIONS ENTRE LES RACINES DE l'ÉQCATION X""' — ' ^= ^' ^^^
dire qu'en donnant à p des valeurs entières convenables on pourra, avec cette racine x, reproduire toutes les autres.
Soit, par exemple, l'équation j^ — i = o, qui, pouvant se mettre sous la forme (j^ — i) (j^-i- i) = o, donne
107=1 et r = ■> 2° )- — — 1 et r = •
Comme les trois premières racines proviennent de r^— i = o, on a, en
désignant par a la racine
d'où l'on voit que les trois premières racines seulement sont produites par les puissances de •
Mais il n'en est pas de même de ; car on trouve
Ainsi toutes les racines sont produites par les puissances o, i, 2, 3, 4,
/ — 5 5, . . . de la racine : et cela tient à ce que cette dernière racine est la première donnée par la formule
cos 1- sm — w — I ,
qui devient, dans ce cas,
cos:r -7- s'.n^ y — '•
5a2 CDAPITRE VIII.
En effet, on a
cos - = sin "5 = sm t;;
mais le sinus du sixième de tt, ou du douzième de la circonférence, est la moitié de la corde qui en sous-tend le sixième, et, par conséquent, est égal à la moitié du rayon. Donc
cos i: ou Sin t; 3 D
-; d'oij sin- = 4 /i — - = - v^S; 2 3 V 42'
ce qui donne enfin
- + -V3v — I, ou '
pour la première racine.
N. B. — Cette exception a lieu pour toutes les équations de la forme /^"— I = G, ou (j"— i) {>'"-)- i) = 0, et plus généralement pour toutes les équations à deux termes dont le degré n'est pas un nombre premier .
Résolution de Véquation JK^H- i — o.
37S. Comme on a
C0S(2X- -f- l)7r = — I, sin(2/--f- l)7r = O,
on peut conclure des formules (i) et (2), établies au n*" 371,
' 2 /• -(- I ] TT . . [ih
cos
= cos(2A- -h- 1)77 d= sin(2X- -(- i)7T y/'— I d'où l'on voit que l'expression
( 2 /^- -f- I ) 77 , . ( 2 /■ -+- I ) 77 cos ^ ± sin
peut être prise pour la racine mf""' de — i, ou pour l'expression générale d'une racine de la proposée; et l'on obtiendra les diverses racines en attribuant à /• la série des valeurs o, i, 2, 3,
Donnons à k toutes les valeurs comprises depuis zéro jusqu a •
,v /« ''/ — "i- ■ gi m est impair, et depuis zéro jusqu a — — 1 ou • si m est pair,
RÉSOLUTION DE L' ÉQUATION J'"" -f- I = O. 5^3
on obtiendra successivement,
pour A- = G, jr = cos — = sin — y/ — i ,
k — i, r = ces — — <in — V^ — i ,
k~i, r=cos — ^ rb sin — ^v^— i,
y = C0S77 ±z sm-\j—i = — i, ^=.cos(.-^^)=sin(r.-^)v'=T
Je dis que ce tableau renferme toutes les racines de l'équation
En effet, lorsque m est impair, comme la valeur k = ne donne
1 m — j que la racme — i, mais que toutes les autres, o, 1,2...., — - 1
ou en donnent dei/a: chacune, il s'ensuit que le nombre total des
racines fournies par ces valeurs est
2 ( w — 3 ) - " ■ ou m.
Si m est pair, chaque valeur de /• depuis zéro jusqu'à donne
deux racines ; ainsi le nombre total des racines fournies est
m — 2^ 2 -t- 2 I 1 . OU m.
On démontrerait, d'ailleurs, comme on l'a fait pourj)""— i = o, qu'en
donnant à /■ des valeurs plus grandes que — ; — si m est impair, et que
si m est pair, on doit retrouver les mêmes racines. Donc, etc.
376. On voit encore, d'après l'inspection de ce tableau, que si a désigne la première racine imaginaire, ou cos— -f- sin — \/—i, toutes lesra-
5^4 CnAPITRE YIU.
cines qui correspondent au signe supérieur sont exprimées par a', a^, y.\..., a"*, ou a', a', a% . . . , a'""',
suivant que //î est un nombre impair ou un nombre pair. D'ailleurs les racines qui correspondent au signe inférieur, étant les récijjroques des précédentes, ont pour valeurs
ou
r,lll-l '
ou, à cause de a"'^: — i, d'où cc""=i,
a}"^\ a?'"-^, a""-*,..., a!" ou a"'+'.
Donc, enfin, toutes les racines de l'équation j''"-f-i = o sont, dans l'hypothèse de m impair,
a', y.\ a\ a',..., a-% «"', a'"^\ . . . , ce""', «="-, et, dans l'hypothèse oii m est un nombre pair,
N. B. ~ Pour plus de généralité, nous avons établi des formules pour résoudre l'équation x'"-+- 1 = o, quel que soit m. Mais, quand m est impair, on peut changer j en — j, ce qui donne j""'— i = o; et l'on voit que, dans ce cas, les racines de l'équation j"" -m — o sont égales aux racines de l'équation j"*— i = o, prises en signes contraires.
377. Scolie général. — En récapitulant tout ce qui vient d'être dit sur les équations à deux termes, on peut en conclure qu'«/2 radical qitelcorujue a toujours autant de valeurs qu'd y a d"" unités dans son indice. Ces valeurs sont égales- à la racine arithmétique de la quantité sous le signe, considérée avec sa valeur absolue, et multipliée alternativement par chacune des racines de -+- 1 ou de — i.
Ainsi, lorsque l'on a deux radicaux à multipher l'un par l'autre, le produit est susceptible d'autant de valeurs différentes qu'il y a d'unités dans le produit des deux indices, à moins que les degrés des deux radicaux ne soient égaux ; car alors plusieurs valeurs deviennent identiques.
Soit, par exemple, ^Ti à multiplier par yi). Désignons par p Qi q leurs valeurs uriilunétiques ; on a (374) pour le premier radical
«V, a/^ ^^P^ et pour lo second
aV/, a.q, a?q\
