RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS TRINÔMES

multipliant chacun des termes de la première ligne par chacun des termes de la seconde, on obtient

o-^pq, apq, a?pq, apq, o?ljq, a^pq, cC-pq, a?pq, a' pq ,

expressions qui se réduisent à trois différentes, pq, y.pq et a^/^y, si l'on observe que l'on a

a? =1 et ly.* = a.

Il en est de même lorsque les deux indices ont un facteur commun. Le nombre des valeurs différentes du produit est alors égal au plus simple multiple commun des deux indices.

Ces observations complètent ce que nous avons dit dans le Chapitre VI (1C7) sur la multiplicité des valeurs d'un radical.

Équation trinôme, x'""-{- px"''^- q = o.

378. On appelle ainsi toutes les équations qui ne renferment que deux exposants de l'inconnue, dont l'un est double de l'autre, et des quantités toutes connues.

Ces équations peuvent toujours, par la transposition et par la réduction, être ramenées à la forme ci-dessus, et leur résolution dépend uniquement de celle de l'équation du second degré et de l'équation à deux termes.

En effet, soit posé x'"= y; il en résulte

r'+pj='7, d'où y= -^~ yj-^'i'^

donc

Ainsi, pour obtenir toutes les valeurs de a, il suffit de multiplier l'une

des racines m^'""' de — - -t- i n-r -f- q-, et l'une des racines nf'"'" de 2 V 4

— \/-7--^(li par chacune des racines nfi"'" de

P Soit, par exemple, V équation

x"— yj;'—- 45i44; en posant x^ = jr, on trouve

doù l'on déduit

^=216 et j>' = — 209.

Donc

1° j:'= 216; d'où a: = G, a: = 6a, ^ = 6a^;

2» ^ = — 209 ; d'où X ~ — v^209 , X = —et v^aog, a; = — a' y^iog,

a désignant la première racine imaginaire de l'unité.

La résolution des équations trinômes conduit à l'extraction de la racine ///""* d'une quantité de la forme a -h \/b. Nous avons déjà (H8) traité le cas particulier de m = 2, et nous aurions maintenant à considérer le cas général ; mais, cette opération offrant peu d'applications dans l'analyse algébrique, nous nous dispenserons de la développer ici.