I- 'ix — X' — 3 — IX -n X

L'équation x'^ — ix — Z = o donnant x = 3, x = — i, tout se réduit à poser a= — 3, ê=2, p = "i, q ~ — i dan» les valeurs ci-dessus de A, B; et il vient

donc

identité dont il serait facile de vérifier l'exactitude.

Pour peu qu'on réfléchisse sur la marche qui vient d'être suivie, on voit qu'elle peut s'étendre au cas où le dénominateur de la fraction rationnelle seredt d'un degré quelconque.

Après avoir résolu l'équation que l'on forme en égalant à zéro le dénominateur, on pose

a -h 6a; -t- yjc^-f-. . .-t- ).j:" ABC

a -i-6j7-i-7a;'-i-...-t- af" x — p x — q x — r on chasse les dénominateurs, puis on transpose tous les termes dans un

528 CDAPITRE VIII.

jnômc membre, en ordonnant par rapport à x. Égalant à Z!?ro chacun des coefficients des diverses puissances de x, on obtient ainsi autant d'équations, toutes du premier degré, qu'il y a de quantités A, B, C,. . . à déterminer; doù l'on déduit alors les valeurs de ces quantités.

Mais cette méthode, très-simple pour le cas où le dénominateur de la fraction proposée est du deuxième degré seulement, entraîne dans des calculs assez compliqués lorsque le degré est un peu considérable. Toutefois les équations qui doivent servir à déterminer A, B, C,. . . sont toutes du premier degré.

La méthode qui va suivre est plus élégante, et elle a surtout l'avantage de donner les valeurs de A, B, C,. . . , chacune séparément.

fia:] 381 . Désignons, pour abréger, par '-jt; — -la fraction à décomposer, et

établissons, comme précédemment,

Si l'on chasse les dénominateurs, il vient f[x\ = k[x — q){x — r)...-\-^[x — p){x — r']...-^Ç\x — p){x — q'\...\

et comme cette équation doit exister quel que soit .r, on peut y faire alternativement .r = /j, a: = ^, or = /-, . . . ; ce qui donne immédiatement

Dans le cas particulier traité par la première méthode, on trouve surle-champ

382. Cas exceptionnel. — La seconde méthode, ainsi que la première, peut toujours être employée tant que les racines de Y[x) = o sont inégales (réelles ou imaginaires) ; mais l'une et l'autre sont en défaut toutes les fois que F(x) = o renferme des racines égales. En effet, si l'on sup-

■fi \ pose, par exemple, p — q, les valeurs de A, B se réduisent à A =• j