DÉCOMPOSITION DES FRACTIONS RATIONNELLES, ETC

Le cas des racines égales exige donc que l'on ait recours à un autre mode de décomposition.

Soit d'abord

il est bien évident qu'alors on ne saurait poser fix] ABC

puisque le dénominateur du second membre ne peut être que x — p, tandis que celui du premier membre est [x — p)"'\ mais, si l'on établit

cette égalité n'offre rien que d'admissible. En chassant les dénominateurs, on obtient

d'où, en faisant x = p,

A = f{p ) , ou bien A = a -i- S/p -i- 7/;' -f- . . . n- )./?".

Passons à la détermination de B. Pour cela il est nécessaire de remplacer/(j:) et A par leurs valeurs dans l'équation (i), puis de transposer colle de A dans le premier membre ; il vient ainsi

S{x~p)-i-y{x'-py^...= B{x-p)-^C{x—py-^...,

ou, supprimant le facteur x — p dans les deux membres,

(2) è-{-'/(x-i- p) -h S{x^-^ px-h p-) -h...= 'B-^-C{x — p) -i-....

Faisons, dans cette égalité, ^ = p\ il en résulte 6 -{- 2 V/; H- 3 Sp^ H- . . . = B.

Pour déterminer C, il suffit de retrancher cette dernière égalité de l'égalité (2), et il vient

-^{x — p) ■+- rj(x^-p') + 3p{x-p)+.. . = C[x-p)-i-...,

ou, supprimant le facteur x — p,

y -i-S[x-T- p) -h Sp-h.-. — C -i-Dlx—p) +..., ^Ig. B. 34

53o CnAPITRE VIII.

égalité qui, par l'hypothèse x = p, se réduit à 7 -+- 3 0 /^ -f- . . . = C

En continuant ainsi, on parviendrait à déterminer D, E, . . . jusqu'à L Inclusivement.

383. Considérons actuellement le cas général où le dénominateur renferme plusieurs espèces de racines égales et plusieurs racines simples, en sorte que l'on ait

f{x) étant toujours de la forme a -h 6 j? -f- . . . -f- Ix". Posons alors

d'où, en chassant les dénominateurs,

f{a:) = A{x-r,)...(x-p')""{^-qr"- -t- B[x — p) . . .{x — p')'"" {x — q')"' . . .

■+- A'{x ~ p) {x — r/ ) . . .[x — c/')"'. . . -^B'{x — p){x — q)...{x-cj'f{.v-p')...

-^.A"{x-p){x-rj)...{x — p')"''...

-i-B"{x-p){x-q)...[x- pT'i^ -q')-'.

Cela posé, on déterminera d'abord A, B, C,. . . comme au n° 381, en faisant successivement, dans cette dernière égalité,

ce qui donnera

fip)

(p-q)---{p-p'r"ip-q'r

B^ " fiq)

{q-p)--'(Q-p')""{Q-qr"'*