DÉMONSTRATION DC THÉORÈME ÉNONCÉ AU N

Tout poljnôme premier P (rationnel et entier) qui divise exactement le produit A X B </e deux autres polynômes rationnels et entiers divise nécessairement l'un de ces poljnômes.

Ce théorème général repose sur plusieurs autres propositions qui n'en sont que des cas particuliers, et que nous allons démontrer successivement.

1. Premier cas. — Soient? un nombre premier, A un nombre entier quelconque B un polynôme rationnel et entier, mais dépendant d'une seule lettre a, c'est-à-dire tel que l'on ait

R= aa"-l-ia"~'-i-ca"~^-t-...-H5a-i-f

(a, b, c, ..., s, t étant des nombres entiers quelconques positifs ou négatifs). Comme le produit A x B devient alors

ka a"-l-A^ a""' -+- Aca"""'-i-. . .-+- A5 a H- A^

et que P divise, par hypothèse, ce produit, il s'ensuit nécessairement (30) que P doit diviser chacun des coefficients ka, kb, kc,..., ks, kt; donc il faut (Arithm., 29^ édit., 129) que P divise A, ou qu'il divise chacun des nombres a, b, c,. . ., s, t, et, par conséquent, B.

D'où l'on peut conclure que

Tout nombre premier V qui divise exactement le produit kxh de deux quantités, dont l'une A est un nombre entier quelconque et l'autre B un polj-nôme rationnel et entier dépendant d'une seule lettre «, doit diviser A ou B.

2. Deuxième cas. — Soient P un nombre premier, A et B deux polynômes rationnels et entiers dépendant de la seule lettre «, c'est-à-dire tels que l'on ait

A = aa" -+-6a"~' ^ c a""' -f ■ . . . -I- i a -4- r, B = a' a"' -I- *' «" ~' -t- -f- i' a -I- f*

{a, b, c,. . ., s, t, a', b', c', . ., s', t' étant des nombres entiers).

(*) Cette démonstration est due à M. Lefébure de Fourcy.

SUR LES POLYNOMES RATIONNELS ET ENTIERS

Désignons par A' l'ensemble des termes de A, donHes coefficients renferment le facteur P, et par A" l'ensemble des termes dont les coefficients ne sont pas divisibles par P; il en résulte

;i) A = A'-hA".

Soient de même B' et B" les deux parties de B, dont l'une a tous ses coefficients divisibles, et l'autre ses coefficients non divisibles par P; on a aussi

Multipliant l'une par l'autre les égalités (i) et (2), on obtient

(3) AB=: A'B'-i-A"B'-^-A'B"4-A"B".

Cela posé, puisque, par hypothèse, P divise chacun des coefficients de A' et de B', il s'ensuit que P divise les trois premières parties du second membre de l'égalité (3); donc, pour que P divise le produit AB, il faut nécessairement qu'il divise la quatrième partie A''B". Or je dis que cette dernière division est impossible; car désignons par k^iL, k' r/ les deux ternies de A" et de B", affectés du plus haut exposant de a; comme leur produit kk'v.'^'^'^ ne peut se réduire avec les autres produits partiels qui entrent dans A"B", il faut nécessairement (30), pour que P divise A"B", qu'il divise hk' ; ce qui est absurde, puisque le nombre premier P ne divise ni k ni k' .

Le seul moyen de faire cesser l'absurdité est de supposer A" ou B"égal à zéro; et alors, tous les termes de A ou de B étant divisibles par P, il s'ensuit que A ou l'i doit être divisible par P, pour que A >< B soit lui-même divisible par P. Donc

Tout nombre premier P, qui divise exactement le produit A X B £?e deux polynômes rationnels et entiers, fonctions d'une seule lettre, doit diviser tous les coefficients de l'un de ces poljnomes, et, par conséquent, ce polynôme.

3. Troisième cas. — Soient A un nombre entier quelconque, B un polynôme rationnel et entier, dépendant de la seule lettre «, P un polynôme premier, de même nature que B.

Puisque, par hypothèse, le produit A x B est divisible par P, on a l'égalité

(0 AxB::=P <Q

(Q étant une quantité entiè-e, numéiique ou algébrique). Décomposons le nombre A dans ses facteurs premiers, et soit

A =//'/".../("' (plusieurs de ces facteurs pouvant êt:e égaux); l'égalité (1) devient (2) //'/"... /(")b = PxQ;

d'oii, divisant les deux membres par /,

Or le premier membre de celle-ci étant une quantité rationnelle et entière, il doit en être de même du second membre; mais/ est un nombre premier qui ne peut diviser P, puisque P est premier: donc, en vertu du second cas, /doit diviser Q, et l'on a Q =/x Q' (Q' étant une quantité entière); d'où, substituant dans l'égalité (2), et divisant par/,

(3) /'/"-./^"^B^PxQ'.

Raisonnr.nt sur cette égalité comme sur l'égalité (2), on reconnaîtra de même que Q'=/' X Q" (Q" étant une qwantité entière); d'où, substituant dans (3), et divisant par /',

(4) /"/'".. •/("^B=.PxQ";

et ainsi de suite. Donc, après avoir supprimé successivement tous les facteurs /» /'> / "» • • •> f y on parviendra enfin à une égalité de la forme

B = PxQ^""^'^,

QCn+O étant une quantité entière, numérique ou algébrique; ce qui démontre que B est divisible par P. Ainsi

Tout polynôme premier (rationnel et entier) dépendant d'une seule lettre x, qui divise exactement le produit d'un nombre entier quelconque A par un polynôme rationnel et entier B, dépendant de la même lettre a, doit diviser ce dernier polynôme.

4. Quatrième cas. — Soient A, B deux polynômes rationnels et entiers, dépendant d'une seule lettre a, et P un polynôme premier de même nature.

Supposons que A ne soit pas divisible par P, et admettons d'ailleurs que A soit de degré plus élevé que P ; divisons alors A par P, en poussant la division jusqu'à ce qu'on parvienne à un reste de degré moindre que P; mais, afin d'obtenir au quotient des coefficients entiers, multiplions d'abord A par un nombre convenable m (ce nombre a généralement pour valeur le multiple le plus simple des dénominateurs des coefficients fractionnaires auxquels on serait conduit si l'on n'effectuait pas cette préparation). Désignons enfin par Q le quotient de la division, et par R le reste ; nous aurons l'égalité

0) mA=:PxQ-t-R.

(R doit être supposé différent de zéro, car autrement il s'ensuivrait que P diviserait m. h. et par conséquent A, en veitu du troisième cas, ce qui serait contre la supposition ci-dessus.)

Cela posé, multiplions par B, et divisons par P les deux membres de l'égalité (i); il vient

mAxB „ - BxR

— — = BxQh ^—'

Or, P devant, par hypothèse, diviser A X B, et par conséquent m.K X B, il faut nécessairement que P divise aussi B X R; et si R est un nombre entier quelconque, la proposition est démontrée, puisque P, divisant B X R, doit diviser B, en vertu du troisième cas.

SDR LES POLYNÔMES RATIONNELS ET ENTIERS. 535

Mais supposons que R soit lui-même dépendant de a, et divisons P par R, après avoir toutefois introduit dans P un facteur numérique m' propre à donner au quotient des coefficients entiers; il vient encore

(2) m'P^RxQ'— R'.

(R' doit être différent de zéro ; car, si l'on avait R' ^^ o, il s'ensuivrait que R

diviserait m'.P, et, par conséquent, que tous les facteurs premiers algébriques

de R diviseraient P, ce qui est impossible, puisque P est premier.)

Multiplions par B et divisons par P les deux membres de l'égalité (2)j il

vient

,„ BxRxQ' BxR' mB= --^p-.

égalité qui prouve que la divisibilité de B X R par P entraine celle de B X R' par P. Si R' est indépendant de a, la proposition est démontrée, puisque P, divisant B x R', doit diviser B, d'après le troisième cas.

Mais supposons R' dépendant de «, et continuons de diviser P par R', par R", . . . , et ainsi de suite ; nous parviendrons bientôt à un reste R^"^ indépendant de a, et tel que B x R^"^ sera divisible par P. Donc, enfin, B lui-même est divisible par P.

(Dans le cas où l'on aurait P de degré plus élevé que A, on diviserait P par A, puis P par R, R', R", et les raisonnements seraient absolument les mêmes.)

Ainsi, lorsqu'un poljrnôine premier P (rationnel et entier), dépendant d'une seule lettre a, divise exactement le produit \x.B de deux poljnômes rationnels et entiers qui ne dépendent que de la même lettre «, on peut en conclure que P divise exactement A o;/ B.

5. Il est maintenant bien facile de généraliser la proposition ; car, en supposant que les trois polynômes A, B, P puissent renfermer les deux lettres a, ê, on aura quatre nouveaux cas à considérer, sajwir :

1° P un nombre premier ou un polynôme premier dépendant de la seule lettre a ; A un nombre entier quelconque ou un polynôme rationnel et entier dépendant de la seule lettre a; B un polynôme rationnel et entier renfermant les deux lettres a, ë ;

2° P un nombre premier ou un polynôme premier dépendant d'une seule lettre a; \, B deux polynômes rationnels et entiers renfermant les deux lettres a, 6;

3° A un nombre entier quelconque ou un polynôme rationnel et entier dépendant d'une seule lettre « ; B, P deux polynômes rationnels et entiers renfermant les deux lettres a, ê, mais P un polynôme premier;

4° Enfin A, B, P trois polynômes renfermant les deux lettres a, ê, mais P un polynôme premier.

Si l'on applique à chacune de ces hypothèses des raisonnements analogues à ceux qui ont été établis aux n°' 1, 2, 3, 4, on parviendra à cette nouvelle proposition, que

Tout polynôme premier P (rationnel et entier) dépendant de deux lettres «, 6, qui divise le produit A X B </e deux poljnômes renfermant les deux mêmes lettres, divise nécessairement l'un des polynômes.

La proposition étant reconnue vraie pour le cas de deux lettres, on peut en-

suite l'étendre au cas de trois, quatre lettres, etc.; donc elle est vraie généralement.