SECONDE PARTIE

SUR LA DÉCOMPOSITION d'oîI POLVXOME RATIOSSEL ET ENTIER ES SES FACTECRS PREMIERS.

Clairaut est le premier auteur qui, dans ses Éléments d'Algèbre, ait traité cette question. Sa méthode, peu commode dans la pratique, manquant d'ailleuis de généralité, nous allons en exposer une autre qui, outre l'avantage de pouvoir s'appliquer à toute espèce de polynômes rationnels et entiers, présente encore celui de se lier immédiatement à la méthode des racines commensurables des équations numériques.

Nous démontrerons avant tout un nouveau principe sur lequel nous aurons à nous appuyer.

8. Ainsi qu'on l'a vu au n° 237, toutes les fois qu'une fonction entière de jpeut être rendue nulle par une valeur quelconque x = a,\e binôme (x — a) est un diviseur relatif- du polynôme proposé.

Soit maintenant X un polynôme rationnel et entier de la forme

Aj,'"-h B x'"-' 4- Ca"— 'h-. . .-h M.r -f- N,

A, B, C, ..., M, N étant des quantités entières, numériques ou algébriques. Admettons qu'une valeur rationnelle, mais fractionnaire, x ^^ — (qu'on peut toujours supposer irréductible), jouisse de la propriété de rendre nul le poly-

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nôme X : je dis que ce polynôme est aussi exactement divisible par {tx — a), le mot divisible étant pi'is ici dans le sens de la division algébrique ordinaire (^230).

En effet, il résulte d'abord de ce qui a été dit au n° 238 que le quotient de

la division de X par ix — — 1 est exact et égal à

Ax"'-' + ^A 2 + b) x'"-' + ('a ^^ + B 2 + c) 0:'"-'+ . . .

'± hB- h.. H- M

en sorte que, si l'on appelle Q ce quotient, on a

Q étant un polynôme de forme fractionnaire, mais dont tous les dénominateurs sont facteurs de ê"""*.

Cela posé, multiplions les deux membres de l'égalité (i) par ê"'; il vient

Xê'"^ (6x — a)Q6'"-';

et il est évident que Q.ê"'~' peut être considéré comme un polynôme ration-

Xô"

nel et entier, ainsi que sa valeur • Mais êx — a est un polynôme pre-

dj; — a.

mier qui ne peut diviser le facteur 6"", puisque ce facteur est indépendant de x ; donc [note, 3) X lui-même est divisible par Zx — a ; et l'on a

(3) X = (êx- a)Q',

Q' étant un polynôme rationnel et entier. c. g. F. d.

N. B. — Comme l'égalité (i) revient à X — (6x — a) -- » on obtient, en la

comparant avec l'égalité (2),

|=Q', d'où Q = Q'g,

ce qui démontre que le quotient Q, supposé de forme fractionnaire, se réduit lui-même à un polynôme entier, et tel que 6 est facteur commun à tous ses coefficients.

C'est sur ce principe que s'appuie la détermination des facteurs du premier degré de la forme [jnx -+- n) pour les équations numériques. (^Voir les exercices donnés n° 323.)

9. Passons actuellement à la recherche des facteurs premiers d'un polynôme rationnel et entier.

Considérons, en premier lieu, un polynôme de la forme

(0 «'"-(- P a"'- '-+-Q a"*-* -»-...-+- Ta -H U,

P, Q, ..., T, U désignant des quantités algébriques entières.

Il est facile de démontrer, comme on l'a fait au n° 318, qu'aucune expression

rationnelle fractionnaire — (qu'on peut toujours supposer irréductible), substi

tuée à la place de a, ne peut rendre nul le polynôme proposé. Supposons, en effet, qu'on puisse avoir

si l'on multiplie par 6" ', et qu'on transpose tous les termes, à l'exception du premier, il vient

m -— :=; — Pa — Qa 6— ...— laS — Ub ,

égalité évidemment absurde; car le second membre est un polynôme rationnel et entier, tandis que le premier est essentiellement fractionnaire {note, 6). Soit, en second lieu, un polynôme rationnel et entier, tel que

Aa'" H- B «"■- ' -i- . . . -t-M a + N.

Égalons ce polynôme à zéro, et posons ^.65) a = -- ; on trouve, après la disparition des dénominateurs,

a -^ V>.a -i-C.A.a -t-U.A.a H-...-;- il. A ^=0,

équation dont le premier membre est de même forme que le polynôme (i), et qui, si elle adni-it des valeurs rationnelles pour a', ne peut en admettre que d'entières.

Désignons par p, p' p',. . . les différentes racines entières de cette équation ; les racines correspondantes de l'équation

Aa""-^,- Ba"-' ^. . .-+- a -^ N=r. o

seront—» — » — > Or, parmi celles-ci, les unes peuvent être entières et

représentées par a, se',.- -, les autres fractionnaires et exprimées par -, —,y'

et y, 6' et •/',. . . étant premiers entre eux).

Par conséquent, les diviseurs rationnels et entiers du premier degré par rapport à a, du polynôme proposé, seront

Par ce moyen, la recherche des diviseurs entiers du premier degré, par rapport à l'une des lettres qui entrent dans un polynôme donné, se trouve rame-

SLU LES POLYNÔMES RATIONNELS ET ENTIERS. 539

née à la recherche des facteurs de la forme a — K , K étant une quantité entière, positive ou néffative, numérique ou algébrique. Et pour obtenir ces facteurs, il suffit de savoir résoudre en quantités entières une équation de la

forme

a ~Pa -;-Qa -,-...-i-ia-r-t)=o,

P, Q, . . ., T, U étant des quantités algébriques entières.

La méthode établie précédemment v3"0) pour résoudre en nombies entiers une équation numérique de même forme est applicable en tous points à la question dont nous nous occupons ici. 11 suffit donc de se reporter a ce numéro pour se former une idée de la marche qu'il faut suivre à l'égard d'un polynôme rationnel et entier, quelque compliqué qu'il soit. IVous nous bornerons à quelques remarques générales.

10. Première remarque. — L'application de la méthode supposant que le dernier terme du polynôme ordonné est décomposé en ses facteurs premiers, il semble, au premier abord, que nous fassions u/ie pétition de principe; mais observons : i" que ce dernier terme est plus simple que le polynôme proposé; 2° que, dans tous les cas, il renferme une lettre de moins que ce polynôme.

Ainsi d'abord, quand le polynôme ne renferme qu'une seule lettre, le dernier terme est numérique; or on sait déjà trouver tous les diviseurs d'un nombre.

Si le polynôme renferme deux lettres, et qu'on l'ordonne par rapport à l'une d'elles, le dernier terme n'est plus fonction que d'une seule lettre, et l'on est censé savoir déterminer tous les diviseurs entiers d'un polynôme d'une seule lettre.

Si le polynôme renferme trois lettres, le dernier terme n'en renferme que deux; et ainsi de suite.

11. Deuxième remarque. — Lorsque, dans le polynôme proposé, le coefficient de la plus haute puissance de la lettre principale est différent de l'unité, comme il faut avoir recours à la transformation du n° 265 pour rendre ce coefficient égal à I, et que cette opération donne lieu, en général, à de nouveaux coefficients très-compliqués, il convient d'appliquer d'abord la méthode au polynôme liii-mème, de la manière indiquée au n° 324. Par ce moyen, on obtient tous les l'acteurs premiers de la forme {a — a), après quoi l'on divise le polynôme proposé par le produit de tous ces facteurs ; et la question se réduit à déterminer tous les facteurs, tels que {y a — 6}, du polynôme quotient.

12. Troisième remarque. — Dans la même circonstance, il convient encore de s'assurer si les coefficients des diverses puissances de la lettre principale n'auraient pas un commun diviseur (247), parce que, s'il en existait un, on le supprimerait, et l'on opérerait ensuite sur le polynôme résultant de cette suppression.

Le facteur supprimé pourrait lui-même être un polynôme décomposable, et ses facteurs premiers seraient les facteurs indépendants de la lettre principale.

13. Quatrième et dernière remarque . — Toutes les fois que le dernier terme renferme comme facteurs des monômes littéraux, tels que b, h',. .., c, c',..., il est plus simple de substituer immédiatement ces quantités prises avec le signe -i-, puis avec le signe — , dans le polynôme, parce que le résultat de cette substitution est un polynôme tout développé.

Celles de ces quantités qui jouissent de la propriété de rendre nul le polynôme sont reconnues racines. C'est la même règle que pour -+- i et — i par rapport aux équations numériques.

Les exemples suivants éclairciront ces différentes remarques.