PREMIER EXEMPLE

14. 2 a* -\- a^ b -i- a'' b^ -\- aP — b* . Egalons ce polynôme à zéro, après l'avoir ordonné ; il vient

Conformément à la remarque du n° 11, cherchons d'abord les diviseurs tels que a — V..

Or les diviseurs de ¥ étant b, b^, b^, b*, il faudrait essayer ces diviseurs tant avec le signe -f- qu'avec le signe —, et pour cela les substituer au lieu de o dans l'équation (i); mais, comme le polynôme proposé est homogène (^Algèbre, \ 1), il est évident que ^', substitué à la place de a, donnerait pour 7 a* un terme de plus haut degré que tous les autres, et qui, par conséquent, ne pourrait être détruit. Même raisonnement par rapport à b^ et b^. Ainsi l'on ne doit essayer que les diviseurs -i- è et — b.

Or le dernier seul donne, par sa substitution,

lb'—b'-^b'—b'—V= o;

donc — b est racine de l'équation, et par conséquent a — ( — b) ou [a -t- b') est diviseur du polynôme proposé.

Divisant ce polynôme par a -\- b, et égalant le quotient à zéro, on trouve

(2) la" — ba'' -ir o b* a — b'=^o.

On pourrait actuellement faire disparaître le coefficient de a^, en posant

a = -j puis opérer sur 1 équation résultante comme sur la proposée; mais si

l'on rapproche le premier et le troisième terme de l'équation (2), puis le deuxième et le quatrième, on reconnaît qu'elle revient à

'xa{u--^b-) — ^(a-H-é-)=o, ou {la — b) {a} -^ b^) =■ O .

Donc, enfin, le polynôme proposé est égal à

(û -Hé) (2 ./-&)(«' -+-*');

ce qui donne deux facteurs du premier degré et un facteur du second degré.

15. Dans cet exemple, comme dans tous ceux où le polynôme est homogène et composé de deux lettres seulement, on peut ramener la résolution do l'équation à celle d'une équation numérique.

Soit, en effet, l'équation générale

A «'" -I- n ba""' -hCb' a'"-' -(- . . h- M b"'~' a -f- N b"' ^ 0, A, B, C M, N étant des nombres entiers.

SUR LES POLYNOMES RATIONNELS ET ENTIERS

Si l'on pose

~ ^ X, d'où a = bx, b

il vient

A r x"' -4- B è" x"*- ' -h C r ^'"- V . . . -T- M i" ;c -f- N i"" = 0, ou, supprimant pour le moment le facteur b'" ,

Ax"

Bx"

Cx"

Mx-t-N = 0,

équation numérique qu'il ne s'agit plus que de résoudre en nombres commensurables. Ces valeurs, étant substituées dans la relation a = bx, donneront les valeurs correspondantes de a, et, par suite, les diviseurs de la forme a — ce, DU -/a — S.

Ainsi, soit posé dans l'équation (i) du n° 14, a nr bx, il vient

Le facteur entre parenthèses étant égalé à zéro et soumis à la méthode des racines conimensurables, on trouve les deux facteurs (j: -1- 1), ( 2x — 1) et, par suite, le facteur (j:'-f-i); d'où, substituant dans l'équation (3) et remplaçant x par sa valeur tirée de la relation a = bx,

{a-i-b){2a - b){a'-hl>')-=0