TROISIÈME EXEMPLE
(1) 2a*-+-C*-4-3c)a»— (7^-'— 2^c— c')a'— 2(è'-+-3^'c)a-|-6**-/|3'c — 2éV=o
Le dernier terme revient à 2è'(3i' — ibc — c'); or il est aisé de reconnaître que l'hypothèse b = c rend nul le facteur entre parenthèses; donc ce dernier terme est divisible par b — c, et l'on trouve
6**46»c — 2é'c'= 'xb\b — c){Zb-hc).
En appliquant la méthode à chacun des diviseurs simples
b, b — c, 3 6 -(- c, — 3 3 — c, — b -r c, — b, ou
2*, 2(* — c), 2(3*-f-c), — 2(;3*-t-c), 2(*— c), —lb,
on reconnaît que (3 — c) seul satisfait à toutes les conditions. Ainsi l'on a a z=b — c, d'où a — b -t- c =^ 0. Divisant le polynôme proposé par a — b -+- c, on obtient pour quotient (a) 2a'-H(3*-l-c)a'- 4i'a — 6*'— 2è*«î.
SUK LES POLYNÔMES RATIONNELS ET ENTIERS. 543
a' Posons, dans ce nouveau polynôme, « = — ; il vient
Or le dernier terme revient à
ce qui donne pour les diviseurs simples, abstraction faite du facteur 8,
h, ob-\-c, — b, — Zb — c.
L'application de la méthode aux deux diviseurs Zb -i- c, — 3 b — c fait reconnaître que — (3^-f- c) est racine de l'équation (3), et, par conséquent, que
(3b-i-c) a= est racine de 1 équation (2). Donc (2 « -f- 3è -f- e) est diviseur du premier membre de cette équation (2). En effectuant la division, on obtient pour quotient
Donc, enfin, le polynôme proposé peut se mettre sous la forme
18. Ces exemples suffisent pour mettre au fait de la recherche des facteurs du premier degré d'un polynôme rationnel et entier. Quant aux diviseurs du second degré ou de degré supérieur, il faudrait employer une méthode analogue à celle qui a été établie au n° 325.
Au reste il arrive souvent, dans les applications particulières, que quelquesunes des lettres qui entrent dans les .polynômes n'y sont élevées qu'à la seconde puissance; et, dans ce cas, la détermination des facteurs ne dépend que de la résolution d'une équation du second degré.
Reprenons l'exem.ple traité n° 16, et observons que la lettre c n'entre qu'à la seconde puissance dans le polynôme.
En l'ordonnant par rapport à cette lettre, on obtient
{b^ — ab)c* - {P -h ab' — 2 a^ b^ a')c -^ ab' — a' b' — a'b-^a*=o;
et il suffirait de résoudre cette équation par rapport à c, puis d'efTectuer toutes les opérations et simplifications auxquelles on serait conduit; mais, avant tout, il convient de s'assurer s'il n'existerait pas un diviseur commun à tous les coefficients.
Or le coefficient 5' — ab revient à b{b — a), et il est aisé de reconnaître que l'hyi)0thèse b — a = o, ou è = a, anéantit les deux autres coefficients; donc {b — a) est diviseur commun. En supprimant ce facteur dans le polynôme, on trouve pour quotient
bc* — {b'-+- lab — a')c -I- aè' — a' = o;
d'uù l'on déduit immédiatement
. ab — a- ,' a' — ah'
OU, réduisant sous le radical au dénominateur \b*, développant les calculs et extrayant la racine carrée,
b* -4- 7ab — a^±( P-^- a^)
Donc
ib'-^ lab , ,, . ,
=2 b -i- a; uou c — b — a = 0;
t d'où cb — ab ~r- a' = 0.
ib iab — 2 a' ab
lb b
Ainsi les diviseurs du polynôme proposé sont
b — a, c — b — a, cb — ab -^ a},
OU
a — b, a -t- b — c, a' — ab -i- bc,
comme on l'avait déjà reconnu au n° 16.
Le troisième exemple (17) peut être traité de la même manière; car la lettrée n'entre également dans le polynôme qu'à la seconde puissance. On serait conduit à supprimer d'abord le facteur (a' — 2b-), commun à tous les coeflîcients.
19. Nous terminerons par un exemple assez remarquable qu'on rencontre dans la Géométrie analytique.
Soit l'équation
(^«^ar'— car)' — (a'— c')^'— a'(a: — c)'.= o. '
Comme, après le développement du premier membre, les deux lettres a et c n'y entrent qu'à la seconde puissance, on peut ordonner indifféremment par rapport à l'une ou à l'autce.
Ordonnons, par exemple, suivant la lettre c; il vient
(y ( X»— a')c'— 2 j:(j>'-t- x' — rt')c -f-;-*-f-(2x»— a»)^' -i- a:* — a'x' =: o,
équation que l'on peut résoudre par rapport à c. Mais vérifions auparavant giy«f-x* — a', qui est facteur commun aux deux premiers coefficients, ne diviserait pas également le coefficient de c'. Or, en essayant la division, on trouve, pour quotient exact, ^''-t- -r'.
Donc l'équation peut se mettre sous la forme
(j^-t-x' — a')(<^' — 2cx-\-y--+- x*) — o,
ou bien
(j-'-i- x' — a*)[y-^{x — cy] = o;
c'est-à-dire que le premier membre est décomposable dans le produit de deux
SUR LES rOLTNÔMES RATIO>NELS ET ENTIERS . 545
facteurs rationnels du second degré, que l'on doit d'ailleurs regarder comme des facteurs premiers.
Si l'on ordonnait le polynôme par rapport h la lettre x, on ne pourrait appliquer la méthode du n° 9, puisqu'elle ne donne que les facteurs rationnels du premier degré, et que, par le fait, le polynôme n'est décomposable qu'en des {àcieuvs, premiers du second degré; mais, en ordonnant par rapport à r, on obtiendrait une équation du quatrième degré, résoluble à la manière de celles du second.
N. B. — On arrive à l'équation que nous venons de traiter en recherchant le lieu géométrique des pieds des perpendiculaires abaissées du foyer dUine ellipse sur la tangente considérée dans toutes ses positions.
20. Enfin la décomposition d'un polynôme en facteurs rationnels peut être fort utile dans l'élimination; car on a vu (365) que, quand on est parvenu à décomposer les premiers membres des deux équations en leurs facteurs simples, la détermination des systèmes de valeurs propres à vérifier ces équations se réduit à celle des systèmes qui correspondent aux combinaisons deux à deux de ces facteurs égalés à zéro.
Alo-. n. 35
