COMPLÉMENT DE LA THÉORIE DES ÉQUATIONS

Ce Chapitre cl le suivant ont pour objet des théories moins indispensables, à la vérité, que les théories exposées dans les Chapitres précédents, mais elles doivent néanmoins servir à compléter l'ensemble des principes de l'Analyse algébrique. Le neuvième peut être regardé comme le complément de la théorie des suites.

§ I". — Recherche des racines imaginaires,

38S. Observations préliminaires. — Nous avons donné, dans le Chapitre VIII, des méthodes pour déterminer les racines réelles, commensurables ou incommensurables, d'une équation numérique. Nous allons maintenant nous occuper de la recherche des racines imaginaires. Au premier abord, cette recherche peut paraître superflue; car ces racines, étant des symboles purement algébriques, ne sauraient résoudre la question dont l'équation est la traduction algébrique. Cependant, comme nous l'avons déjà dit, l'emploi de ces expressions dans la haute analyse est d'un usage très-fréquent, et conduit quelquefois à des résultats d'une grande importance : c'est pourquoi nous tâcherons de donner une idée du travail des plus célèbres géomètres sur cette partie.

Remarquons d'abord que, quand une équation a des racines réelles incommensurables et des racines imaginaires, on ne peut, comme pour les racines commensurables, la débarrasser d'abord de ses racines incommensurables; car les méthodes ne donnent celles-ci que par approximation; et si l'on divisait l'équation par les facteurs du premier degré correspondants, on obtiendrait pour quotient un polynôme dont les coefficients ne seraient que des nombres approchés. Le calcul des racines de l'équation résultante n'offrirait donc plus alors aucune certitude.

Ainsi nous supposerons, dans tout ce qui va suivre, que les équations proposées renferment à la fois et des racines incommensurables et des racines imaginaires, à moins que toutes leurs racines ne soient imaginaires.

Nous avons déjà reconnu (313) qu'une équation dont les coefficients sont réels ne peut avoir de racines imaginaires qu'en nombre pair. Or les analystes sont parvenus à un résultat plus positif encore, qui consiste