ADDITION. H

la multiplication et la dixnsion algébriques, opérations que nous allons maintenant développer.

Remarque. — Comme celles-ci doivent offrir à l'esprit des élèves la même idée que les opérations analogues de l'Arithmétique, nous nous dispenserons d'en répéter les définitions, qui doivent être suffisamment con nues de tous ceux qui ont vu l'Arithmétique avec soin. On conçoit toutefois que les procédés ne peuvent plus être les mêmes, puisque les symboles sont différents. Tantôt ces opérations se réduisent à de simples indications, tantôt il y a lieu réellement à les effectuer, et alors il faut des règles corresi ondantes ^ux symboles que l'on emploie.

DE l'aDDITIO.X .algébrique.

13. Soit d'abord à ajouter les expressions 3(7, 5/?, ac; on a, pour le résultat de cette addition, Za -r- 5b ^ ic, expression que l'on ne peut simplifier davantage.

Soit encore à ajouter les monômes ^a-P^ ia-b^^ 7''''^'; le résultat est l^crb^ --"xa^U^-^- -jd^h\ ou réduisant (12) \T>a^b^.

Proposons-nous maintenant d'ajouter les polynômes

Pour former un seul polynôme qui exprime la somme de ceux-ci, observons qu'ajouter au nombre exprimé par Scr — ^ab^ le nombre exprimé par ia- — 3ab -+- P, c'est y ajouter la différence entre le nombre d'unités exprimé par ia--i- b^, et le nombre d'unités exprimé par ^ab, opération que l'on ferait aisément, si l'on attribuait des valeurs particulières à « et b; mais comme on ne saurait l'exécuter dans l'état actuel des quantités, on remarque qu'il revient au môme d'ajouter d'abord a^'-"- b^ à 3rr — 4«^, et de retrancher ensuite 3ab; ce qui donne

3 <7" — ^ab -h "xa- h- b- — 3r/6,

ou, en changeant l'ordre des termes (9),

"iid^ ~ &^ab ^ 1 (r — 3 ab -'- b'.

De même, pour ajouter lab — 5b- k cette dernière expression, il suffit d'écrire 3^^ — ^ab -^la"^ — "bab -i-b-~t- 2ab — 5b^; il ne s'agit plus actuellement que de faire (12) la réduction des termes semblables, et il vient enfin 5a' ~ 5ab — 4^- pour le résultat demandé.

Comme des raisonnements analogues pourraient s'appliquer à d'autres polynômes, on est en droit de corxlure cette règle générale pour l'addition de deux ou plusieurs polynômes : Ecrivez les polynômes proposés les uns

h la suite dcx autres, en conservant aux trrnirs qui les composent leurs signes respectifs; puis, faites la réduction des termes semblables, s'il y a lieu.

Voici quelques exemples :

1" 3rt'- 4^/6-2/>' 2" -^aH—labc-U'c— ^à -\ rd^

-4- 5 rt' H- 2 ah - //' -f- 8 abc - .1 a-'b^'i c^ - 4 ^'^"^ c'I"

-i-3ab~'ib' — 3c' -\-^a'b-8c' -hç)b'c—3d^

8a'^ ab—5b' — 3c' 6a'b-h 5abr ~'ib-c-\/\c'' -ir-2cd^-^d\

Dans la pratique, on dispose ordinairement les quantités proposées les unes sous les autres, comme on le voit dans ces deux exemples ; on jait la réduction des termes semblables, et Von écrit avec leurs signes respectifs les résultats de lu réduction. Ainsi, dans le premier exemple, en considérant le terme 3a\ comme ce terme est semblable au terme 5^' qui se trouve sur la seconde ligne, on écrit 8a' pour le résultat de la réduction de ces deux termes, qu'on a soin de barrer légèrement. Passant ensuite au terme — ^ab, on le réduit avec les termes + 2^/& et 3ab, ce qui donne + «/^ qu'on écrit à la droite de 8r/% et l'on barre les nouveaux termes qu'on vient de réduire. On contmue ain.i l'opération jusqu'à ce que tous les termes soient barrés et réduits.

Le léger trait qu'on passe sur les termes sert à prévenir l'omission de quelques termes dans le résultat ; les termes non barrés sont encore à réduire.