DE LA SOUSTRACTION ALGEBRIQUE

U. Soit à retrancher 4^ de 5^; le résultat algébrique est 5a— ^b. De même, la différence entre ya^b et /ia'b est ya'b— ia'b, ou 3a^b.

Soit maintenant 2b — 3ck retrancher de 4«: on peut d'abord présenter le résultat de cette manière, /ia-{ib - 3c), en mettant la quantité à soustraire entre deux parenthèses et l'écrivant à la suite de la première quantité avec le signe — . Mais les questions exigent souvent que l'on forme un seul polynôme de cette expression : et c'est en cela que consiste principalement la règle de la soustraction algébrique.

Pour parvenir à ce but, on observera que si «, ^, c étaient donnés numériquement, on ferait la soustraction indiquée par ib — '^c, puis on retrancherait le résultat obtenu, de 4^; comme cette soustraction ne peut être effectuée dans l'état actuel des quantités, on commence par retrancher ib de 4«, ce qui donne 4^ — aZ»; mais en retranchant 26 unités, on a soustrait un nombre trop fort de 3f unités; il faut donc rectifier le résultat en y ajoutant 3c. Ainsi l'on a ^a— -xb -1- 3c pour le résultat de la soustraction proposée.

SOUSTRACTIOX. l3

Soit encore 5a^— 4ob -i-'ibc — b^ à soustraire de 8a---iab; cette opération peut être indiquée ainsi :

8 a' — lab — ( 5 rr — 4ab -^ Zbc — b^).

Mais, pour réduire cette expression à un seul polynôme, observons que retrancher 5û- — ^ab -h 3bc — b- revient à retrancher la différence entre la somme 5r/'-i- 3bc des termes additifs, et la somme ^ab -r- b^ des termes soustractifs. On peut d'abord retrancher 5 a- -h 3bc, ce qui donne

8 rr — 2.aô — 5 a- — 3bc;

et comme ce résultat est nécessairement trop faible de 4^^ " ^\ il f^"'' y ajouter cette dernière quantité, et il vient

8a- — ■i.ab — 5(1- — 3bc -- ^cb -^ b'', ou

8a' — lab — 5^'-^ ^^b — 3bc -i- b',

en rétablissant l'ordre des termes; ou bien enfin, en réduisant,

3fl--r- 2ab — 3bc -r- P.

D'où Ton peut conclure cette règle générale :

Pour soustraire deux polynômes l'un de Vautre, érrh<ez à la suite du polynôme dont il faut soustraire, V autre polynôme en changeant les signes de celui-ci, et faites la réduction du polynôme résultant, s'il y a lieu.

On trouvera, d'après celte règle,

~-{3a^b — la' — 8b'c) \ ^ '

2° /^ab-cd-ib'-r-Za- \ J . ; .,2

— [5ab — 4cd -^ 3b- -i- 3a-) \

io. On peut aussi, d'après cette même règle, faire subir à certains polynômes quelques transformations.

Par exemple,

6 a- — 3ab -^ T.b'^ — ibc revient à

6a- — {3ab — 2b' -i- Q.bc).

De môme

•pa' - 8a'b- 4b'c-^6b' revient à

ya"— {8a'b-r'/ib'c — 6b'), ou bien encore à

ya'—8a'b — {ib'c — &b').

Ces transformations; qui consistent à décomposer un polynôme en deux

l4 CHAPITRE PREMIER.

parties séparées l'une de l'autre par le signe — , sont très-utiles en Algèbre.

DE L^V MULTIPLIC.VTIOX ALGÉBRIQUE.

46. Nous regarderons comme démontré un principe qui est généralement admis dans tous les traités d'Arithmétique [vojez pour la démonstration mes Éléments cVArithmélique, 35* édition, n""25 et suivants), c'est que le produit de deux ou plusieurs nombres reste le même dans quelque ordre qu'on les multiplie.

Cela posé, considérons d'abord le cas où l'on a un monôme à multiplier par un monôme.

Soit 7 a' 6' à multiplier par 4 a}b. L'expression de ce produit peut d'abord s'écrire ainsi : ya^b^ x ^ci^b. Mais on peut la simplifier en observant que, d'après le principe précédent et la signification des symboles algébriques (2), elle revient à 7 x 4 x aaaaabbb. Or, comme les coefficients sont des nombres particuliers, rien. n'empêche d'en former un seul en les multipliant entre eux : ce qui donne 28 pour coefficient du produit. Quant aux lettres, le produit aaaaa équivaut à a' (2, 7°), et le produit bbb^ à b^\ ainsi, l'on obtient pour résultat flnal, 2.8 a' b^.

Soit encore i9.a^b*c^ à multiplier par 8n^b^fP;ce produit revient à 12 X 8 X aoaanbbbbbbccdd , ou ç\^ n^ b^ c'' (P ,

D'où l'on voit que, pour multiplier deux monômes l'un par l'autre, il faut : i" multiplier les deux coefficients entre eux; 1° écrire à In suite de ce produit toutes les lettres qui entrent à la fois d'ins le inultiplicnnde et le multiplicateur, en affectant chaque lettre d'un exposant égal à la somme des deux exposants dont cette même lettre est affectée dans les deux facteurs ; 3** si une lettre n entre que dans un des facteurs, récrire au produit avec r exposant dont elle est affectée dans ce facteur.

La règle relative aux coefficients n'offre aucune difficulté.

Mais pour se rendre compte de la règle des exposants, il faut observer qu'en général, un nombre a doit se trouver autant de fois facteur dans le produit, qu'il l'est, tant dans le multiplicande que dans le multiplicateur. Or (2), les exposants des lettres marquent le nombre de fois qu'elles entrent comme facteurs; donc la somme des deux exposants d'une même lettre marque le nombre de fois qu'elle doit être facteur dans le produit demandé.

On trouvera, d'après la règle précédente, que

8«'^>c^x ■jabcd'' = JGa^Pc\l\ ixa^b^cdx Sabc^= iQSa'b^c'd, 4 abc X ydf— %8abcdf.

MULTIPLICATION. l5