FORME GÉ>'ÉRALE DES RACINES IMAGINAIRES

en ce que, les racines imnginaifes de tonte équation a coefficients réels sont toutes de la forme de celles du second degré , c' est-a-dire de la forme a±b \J ~i , a et b désignant des quantités réelles, commensurahles ou incommensurables ; proposition déjà vérifiée pour les équations à deux termes.

386. Avant de passer à la démonstration du cas général, nous ferons voir que, si une équation dont les coefficients sont réels a une racine de la forme a -^ b y/ — i , elle en a nécessairement une autre de In forme a — b \/ — I , a et b étant les mêmes dans ces deux expressions.

Pour démontrer ce lenime, considérons l'équation

x'"-^?x""' -^ Qx"'-^ -i- . . .-h Tj:-+-U = o,

P, Q,. . ., T, U étant des quantités réelles quelconques, et supposons que cette équation soit satisfaite par une expression telle que a -h b /— i ; on aura l'égalité vérifiée

(^ -r- /; V-^)'"^ Via-^b v/~)'"~' -f-. . . + T (a -+- è /^i) -i- U = o. Développant les calculs et se rappelant que les diverso. ..' -"/"^° de

— I sont alternativement (170)

on obtiendra une expression composée de deux parties bien distinctes, savoir : une partie réelle, provenant de toutes les puissances de degré pair ([q b \/—i , combinées avec les puissances a"', «'^% a"'-\... de a, et les coefficients P, Q, R,. . .; puis une partie imaginaire provenant de toutes les puissances de degré impair de b \/ — i , combinées avec les puissances a"'"', o"'"', ... de <7, et les coefficients P, Q, R, . . . .

Désignant donc ces deux parties par M et N v^— i , l'égalité ci-dessus se réduira à Mh-Nv/— i = o, équation qui ne peut évidemment subsister qu'autant que l'on a séparément

M = o et N = o.

Actuellement, si, dans le premier membre de la proposée, au lieu de a -\- b \l —\ , on substitue a — b \/ —i , ce qui donne

[n-b yf^xY -^V[a-b \f^\ )'""' + ... -4- T (a - 6 sf^x) -+- U,

il est facile de voir que le résultat de ce développement ne différera du précédent qu'en ce que tous les termes affectés des puisscmces impaires

548 CHAriTRE IX.

de b\/—i auront changé de signe, car (— Zfv^— i)^"eàtégal à (-4- Z* \/— ^)'" "• mais (— i/^)'""^' est égal à — (^v^— i)'""^' (1o9); donc ce résultat sera nécessairement M — Ny/— i , M et N désignant ici les mômes quantités que dans le résultat du premier développeinent. Or on a vu tout à l'heure que l'on doit avoir séparément M = o et N = o ; ainsi l'égalité M — N \/— I = o est elle-même satisfaite ; par conséquent, si a -\-b y/— i eut une racine de la proposée, a — b \/ — i est nécessairement une autre racine.

Passons maintenant à la démonstration du théorème sur la forme des racines imaginaires.

387. Cette proposition est évidemment une conséquence du théorème dont voici l'énoncé, théorème que l'on peut regarder comme un des plus beaux de l'Analyse, et que l'on doit à l'illustre Laplace :

Toute équation de degré pair, dont les coefficients sont réels, est décomposable en facteurs réels du second degré , c'est-à-dire en facteurs de la îovTCiç X- -\- p X -f- q^ x-^ p'x -f- «y', . . ., dans lesquels;;, 7, p\ q\... désignent des quantités réelles quelconques ; car, ceci étant admis, les facteurs x'-i- px -(- y, a:--i- p'x -i- q',. . ., égalés à zéro, donnent lieu à des racines qui, si elles sont imaginaires, ne peuvent être que de la forme a ± b v^— I , et réciproquement.

Tâchons donc de démontrer ce dernier théorème.

Soit une équation X = o de degré pair m , à coefficients réels. Appelons a, b, c,. . . ses différentes racines; les facteurs du second degré correspondants seront

x'' — [a -^ b) X -h ab, x^ — [a -h c) x -r- ac , x^ — {b -+- c)x -i- bc,

Cela posé, nous allons d'abord faire voir que l'un de ces facteurs au moins a ses coefficients réels.

En effet , supposons, en premier lieu, que m soit une seule fois divisible par 2, c'est-à-dire que l'on ait m = -in, n étant un nombre impair.

On peut toujours (299) former une équation en - dont les racines soient des combinaisons de la forme

a -h b -h />ab, a -f- c h- Âac, b -h c -i- /,bc, . . . ,

/■ étant un nombre entier tout à fait arbitraire. Concevons cette équation formée, et désignons-la par Z = o; son degré est égal au nombre des

combinaisons, deux à deux, des racines a, b, c,..., c'est-à-dire à m — ^^

ou n{m — i) ; or n est, par hj^pothèse, impair, et il en est de même de