FORME GÊ^•ÉRAI.E DES RACINES IMAGINAIRES

[m — i); donc l'équation Z = o est de degré impair : ainsi (312) cette équation a au moins une racine réelle, et cette racine est la valeur de

l'une des combinaisons « -+- 6 -+- kab, « -i- c -i- hac,

Maintenant attribuons à /- une seconde, une troisième, etc. valeur; nous formerons ainsi autant d'équations Z'= o, Z" = o, . . ., qui auront chacune au moins une racine réelle. Il pourra d'abord se faire que la racine réelle de chacune de ces équations appartienne à une combinaison composée de deux lettres différentes de celles qui entrent dans les combinaisons précédentes; mais, comme le nombre de ces combinaisons est

limité et égal à m , qu'on peut désigner par p, il est clair que, après

avoir attribué à /■, [p-^i] valeurs, et formé (/;-i-i) équations Z = o, Z'= G, Z"= o, . . ., deux de ces équations seront telles, que la racine réelle de chacune appartiendra à une combinaison composée des deux mêmes lettres; ainsi l'on peut supposer, par exemple, que l'on ait trouvé, en désignant par a et par a' ces deux racines réelles,

o -- b -i- hab = a, a -^ b -r- h' ah = x'.

De ces deux équations on déduit par l'élimination

I ° ab —

Ces valeurs sont nécessairement des quantités réelles et finies ; donc il est démontré que 1';//? au moins des j acteurs x^ — [a -^b)x -A- ab de la proposée a ses coefficients révh.

Soit, en second lieu, m = -i} n\ n' étant impair. Formons encore une équation Z = o, dont les racines soient des combinaisons de la forme

a ^ b -{- kab ; cette équation sera du degré m — ; — ou 7.n'[/>i — i). Or n'

et [m — i) étant des nombres impairs , ce degré sera pair et une seule fois divisible par 2 ; donc, en vertu de ce qui vient d'être dit, l'équation Z = o aura au moins un facteur du second degré à coefficients réels. Ce facteur, égalé à zéro, donnera lieu à deux valeurs de z de la forme a ± 6 y/^ (o pouvant être zéro, ce qui arriverait si les deux valeurs de z étaient réelles). Considérons seulement la première racine, et supposons qu'elle appartienne à la combinaison « + è -t- kab.

D'après les raisonnements précédents, rien n'empêche de supposer encore qu'une autre équation Z'= o, formée de la môme manière, ait une racine de la forme x'-h 6' v^~ , appartenant à la combinaison n-^ b + k'ab,

55o CHAPITRE IX.

composée des deux mêmes lettres ; en sorte que l'on ait à la fois

a -h b ■+- kab = a + S \^ — i , a -h b -^ />' ab = a.' -^ ^>' \/—i ; d'où l'on déduit

ab = y-j, , a-^b= j—j,

Ces expressions sont de la forme

r-H.yV^-^ et r'-\- s' \/—i .

Ainsi la proposée a au moins un facteur du second degré, tel que

a:-— {r'-h s' \/—i) X -] r -h s \f^— i ; et si l'on égale ce facteur à zéro, on obtient

La quantité sous le radical, étant développée, donne un résultat de la

forme /•"-+- s" \/—i ; mais l'expression \r"-h s" y/— i se réduit elle-même (421) à une autre de la forme r"'-\- s'" \/—i ; d'où l'on peut conclure que la première des deux valeurs de a- ci -dessus est aussi de la forme p -^ q \/—i ; et, d'après le lemnw démontré au n° 386, il faut qu'elle en ait une autre telle que p — q \J— i .

Or, si l'on multiplie entre eux les deux facteurs x — [p -^ q v/— •) et X — [p — q y/— I ), on obtient pour produit

{x — pY -h q^ ou X^— ipx -^ p--i- q^,

polynôme du second degré en .r, dont les coefScients sont réels. Ainsi il est encore démontré que, dans le cas de m ~ o?n\ l'équation a au moins un facteur réel du second degré.

Soit, en troisième lieu, m = 2^«", n" étant impair; on peut former une équation Z = o analogue aux précédentes, dont le degré

m ou a « {/« — i)

sera deux fois divisible par 2, et qui, en vertu de ce qui vient d'être dit, aura au moins un facteur réel du second degré , d'où, en répétant les mômes raisonnements que dans la seconde partie de la démonstration,

DÉTERMINATIOX DES RACI>"ES IMAGINAIRES. OJI

on pourra conclure que la proposée elle-même a au moins un facteur réel du second degré.

Même raisonnement dans l'hypothèse où l'on aurait

Donc, enfin, toute équation de degré pair quelconque dont les coefficients sont réels a au moins un facteur réel du second degré.

Conséquence. — Il est facile de déduire de là que toute équation de degré pair est décomposable dans le produit d'autant de facteurs réels

du second degré qu'il y a d'unités dans — ou dans la moitié de son

degré.

En effet, puisqu'une équation de degré pair a au moins un facteur réel du second degré, on peut diviser son premier membre par ce facteur ; il en résultera une nouvelle équation de degré pair, à coefficients réels, qui aura encore au moins un facteur réel du second degré, par lequel on pourra diviser le premier membre de cette seconde équation ; et ainsi de suite. Donc le premier membre de la proposée pourra être regardé comme le produit d'autant de facteurs réels du second degré qu'il y a d'unités dans la moitié de son degré.

Si l'équation était de degré impair, comme, en vertu du théorème du n° 312, elle aurait au moins une racine réelle, on pourrait l'en débarrasser ; et l'équation résultante serait décomposable en facteurs réels du second degré.

D'où l'on peut conclure, en dernière analyse, le théorème énoncé (385) ; savoir, que les /-acines imaginaires d'une équation vont par coup/es, et sont toutes de la forme a ± b \/ — i.

388. Détermination des racines imaginaires des équations. La forme des racines imaginaires d'une équation étant connue, nous pouvons procéder à leur recherche.

Soit

x'"-+-Vx"'-'-i-Qj:"'-^'^...~^Tx-h'{J ^o

une équation renfermant des racines réelles incommensurables et des racines imaginaires.

Désignons par p-hq\/—i l'une de ces dernières; il vient, par la substitution de ce binôme dans la proposée,

{p ■+- q [/' — lY' -i- ? [p-\-q\/—l)'"~^-h...-^T(p-^ Ç/—^) H-U = G.

Or, si l'on développe les calculs et qu'on appelle M l'en-emble des termes

5»52 CHAPITRE lî.

réels, N y/— i l'ensemble des termes imaginaires, l'égalité ci-dessus revient à M -f- Ny/— I — o, équation qui ne peut exister à moins que l'on n'ait séparément

M — o et N = o.

Observons actuellement que ces équations renferment les deux indéterminées p et <7, combinées avec les coefficients de la proposée. Si donc on cherche tous les systèmes de valeurs de p et de 17, en nombres réels commensurables ou incommensurables, propres à vérifier ces deux équations, et qiûon les substitue dans Vexpression p -\- q \! — i , on obtiendra ainsi successivement toutes les racines imaginaires de la proposée.

Telle est la méthode générale pour découvrir les racines imaginaires. Nous ferons toutefois quelques remarques qui peuvent faciliter cette recherche, et qui sont d'ailleurs assez importantes en elles-mêmes.

389. Supposons que, pour obtenir les racines réelles incommensurables d'une équation X = o, on ait été obligé (341 ) de former l'équation aux carrés des différences Z = o, et voyons le parti qu'on en peut tirer pour les racines imaginaires.

Résignons par a, b, c,... les racines réelles de X = o, et par

p — g\/-i, p'^qW—'^'---

les racines imaginaires; prenons d'ailleurs successivement les différences entre toutes ces racines considérées deux à deux. On en obtient de quatre espèces, savoir :

1° Les différences entre deux racines réelles, telles que a — b^ a — c, b — c,. . .;

2° Les différences entre deux racines imaginaires conjuguées,

P^q\/-l—{p—qV'-i) = 'i'q/^, aryV^, 27" y/- i ,. . . ;

3° Les différences entre une racine réelle et une racine imaginaire a — p — qsJ—^1 a—p-\-q\/—i, b — p — q' \J—\,. . . .

4° Enfin les différences entre deux racines imaginaires non conjuguées

p — p'-^ [q — q') s/~\,p — p' — [q — q')\/—i ■ • •■ Or, pour peu qu'on jette les yeux sur ces différences , on reconnaît que les carrés des premières ;ont des nombres essentiellement positifs; les carrés des secondes différences sont — 47', — 4</",. . ., c'est-à-dire de.3 quantités réelles, mais essentiellement négatives. Quant aux carrés des deux autres espèces, ce sont généralement des expressions imaginaires.