DÉTERMINATION DES RACINES IMAGINAIRES

Ainsi, en supposant déjà formée léqualion Z = o, les racines réelles et négatives de cette équation sont, en général, les carrés des différences entre deux racines imaginaires conjuguées.

Appelons donc — a, — S, — 7, . . . ces racines, rjue Von peut obtenir, soit par la méthode des racines commensurablcs, soit par la méthode des racines incommensurables ; on a

f/'oii Von déduit

<7 = ± - v/a, 9 = ± - v/o, ,y = tir - v/y, . . .,

Connaissant les valeurs de cj^ q\ <f . . . . , on obtiendra celles de p, //,

o", en substituant ±-\/ol, d: - y/o, . . . à la place de </ dans les

équations M = o, N = o, que l'on a établies dans le numéro précédent, et qui acquerront, pour chaque substitution, un commun diviseur en p, lequel, égalé à zéro, donnera les valeurs de p, p', p",. . . .

A la vérité, ce moyen est en défaut lorsque lune des racines réelles de la proposée est identique avec la partie réelle p, p',- ■ • de l'une de ces racines imaginaires ; car, dans le cas àe a = p, par eicemple, les deux différences a — p — q )J — I, a — p -^ q yj — \ se réduisent à — 7 \J— i et q \J — I , dont les carrés sont égaux à — 7^ Il est encore en défaut lorsque les parties réelles des deux racines imaginaires non conjuguées sont identiques; car, par exemple, p = p' réduit les différences

(7-'7')V^^ et -(ry-7')\/-i,

dont les carrés sont égaux à — [q — q')'-

D'où l'on voit que l'équation Z = o peut quelquefois avoir des racines négatives qui ne représentent pas les valeurs de — 47% — 47'', ... ; mais il est toujours possible de reconnaître si une racine négative telle que — a'

est une valeur convenable, à ce que, si l'on substitue - y/a' dans M et N,

il faut et il suffit que les deux polynômes en p, résultant de cette substitution aient un diviseur commun; toute valeur qui ne satisfera pas à cette condition devra être rejetée comme provenant de l'une des circonstances dont nous venons de parler.

Nous observerons encore que, dans ces mêmes circonstances, l'équa-

lion Z = o devrait avoir des racines égales, puisque, comme nous l'avons reconnu plus hiut, dans Ihypothèse de rt — /?, deux carrés au moins se rédiiisent à — </% et dans Ihypolhèse ûq p — p', deux carrés au moins se réduisent à — [q — q'Y. Ainsi l'on pourrait, par la méthode des racines égales, débarrasser l'équation Z = o des valeurs différentes de — 47',

Quoi qu'il en soit, on conçoit combien la méthode pour découvrir les racines imaginaires d'une équation doit être pénible et laborieuse toutes les fois que l'équation est d'un degré supérieur au troisième.

§ II- — RÉS0LUTI0>( DES ÉQUATIONS GÉNÉRALES DE DEGRÉ SUPÉRIEUR AU SECOND.

Nous avons maintenant une tâche importante à remplir, c'est de faire connaître les travaux des analystes sur le fameux problème de la résolution des équations générales de tous les degrés. Ce problème, qui a longtemps occupé les mathématiciens les plus célèbres, a pour but, étant donnée une équation générale et complète, d'obtenir les expressions de ses racines au moyen cVuti nombre limité d'opérations algébriques effectuées sur les coefficients. Jusqu'à présent la question n'a été résolue que pour les quatre premiers degrés, et l'on doute si jamais on pourra parvenir à une résolution complète pour tous les degrés.

Quoi qu'il en soit, nous commencerons par exposer la plus simple de toutes les méthodes connues pour résoudre les équations du troisième et du quatrième degré; ensuite nous ferons connaître d'autres méthodes susceptibles de s'appliquer avec plus de succès aux équations d'un degré supérieur.

Equation du troisième degré.

390. D'abord on peut supposer (260) l'équation privée de son second terme et ramenée à la forme

(i) x^ -^ px ^ q = o.

Faisons, dans cette équation,

c'est-à-dire supposons a: égal à la somme de deux autres inconnues (cette forme que nous donnons à la valeur de x peut être motivée sur ce que, dans léquation générale du second degré, la valeur de x se compose aussi de deux parties distinctes).

RÉSOLUTION DE l'ÉQUATION DU TROISIÈME DEGRÉ. 555

On obtient, en élevant l'équation (2) au cube,

âr^ = jy^ -f- Sj^z -f- 3rz^ -+ z^ ~ y- -+- z^ -i- 3 J2 ( j -f- s) ,

OU bien

a^ = y^ -\- z^ -\- 3fz x,

et transposant

x^ — 3rzx — y^ — z^ = o.

Pour que cette équation s'accorde avec l'équation (1), il faut et il suffit

que l'on ait

p = -3fz, q=—y^—z\

d'où

Dès que ces deux conditions seront satisfaites, les valeurs de r et de 2 seront telles, que leur somme exprimera la valeur de x, propre à vérifier l'équation (i). Tâchons donc de déterminer 7 et z d'après ces deux conditions.

L'équation (3), élevée au cube, donne

mais on a déjà

jî-f-. z' = — 7;

donc (H4) les quantités j' et z' sont liées entre elles par l'équation du second degré

dont le second terme a pour coefficient la somme donnée — q, prise en signe contraire, et le dernier terme est égal au produit aussi donné

Cette équation est appelée ia réduite de l'équation du troisième degré, parce que c'est de sa résolution que dépend celle de la proposée. L'équation (5) donnant

il vient

d'où, à cause de la relation x = j-i-z,

expression qui renferme implicitement les trois racines.

En effet, désignons par m et « ce que deviennent respectivement les deux radicaux cubiques quand on y remplace p et g par les valeurs correspondant à l'équation (i); puis observons :

1° Que les équations 7^ = /«•', z'= n^ donnent (373)

y z= ni, y = ani, y = a'w, et z ^= n., z=: a«, 2 = a'/z

(i, a, a^ étant les trois racines cubiques de l'unité); 2° Que le produit des deux valeurs de j et de z, dont la somme exprime

la valeur de x, doit être égal à — ^-, d'après la relation (3).

Il en résulte évidemment qu'on obtiendra toutes les racines de l'équation (1) en combinant deiu: à deux les six valeurs ci-dessus de r et de z, et ne prenant toutefois que les combinaisons qui donnent un produit égal

Or on a, en premier lieu,

donc X = m -^ n forme la première racine. En second lieu,

y. m x a.'n = v.^ mn = mn = — ^;

donc X — oi.m -+- a.'^n donne une seconde racine. Enfin

a m X y.n = x^ nm = — ^ ;

donc X = y? m -i-un exprime une troisième racine.

Aucune des autres combinaisons ne remplit (comme on peut s'en assurer aisément) la condition que le produit soit égal k — -, ainsi elles